In matematica, un periodo è un tipo di numero che può essere espresso mediante l'integrale di una funzione algebrica su un dominio algebrico, cioè un insieme numerico definito tramite un’equazione o una disuguaglianza. Tale nozione è stata ufficialmente introdotta da Maxim Kontsevich e Don Zagier nel 2001, riprendendo un discorso tenuto da Kontsevich nel 1999 per il Journée Annuelle della Société mathématique de France.

Definizione

Secondo Kontsevich “un periodo è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono i valori di integrali assolutamente convergenti di funzioni razionali a coefficienti razionali su domini in , definiti tramite diseguaglianze polinomiali a coefficienti razionali".

È del tutto equivalente sostituire nella definizione sopra ai numeri razionali quelli algebrici.

In pratica un periodo si presenta nella forma:

dove e e sono polinomi con coefficienti in

Il nome fa riferimento al fatto che casi notevoli di tali numeri sono e suoi multipli, i quali sono, appunto, i periodi di funzioni periodiche fondamentali, come ad esempio , e , o periodi di funzioni ellittiche.

L’insieme di tutti i periodi viene indicato con il simbolo .

Esempi

Tutti i numeri algebrici, come ossia.

In pratica ponendo l’integrando uguale alla costante 1 si può sempre costruire il valore finale in base al dominio.

I numeri trascendenti come sono un periodo, in quanto possono essere scritti come

nel piano complesso attorno al punto

I logaritmi di numeri algebrici, come:

ossia

Gli integrali ellittici come ad esempio i periodi delle funzioni ellittiche di Weierstrass di parametri algebrici g2, g3:

I valori interi della funzione zeta di Riemann, come

La funzione gamma per p e q numeri naturali, come

Gli integrali della matrice S in meccanica quantistica sono periodi.

Caratteristiche La somma e il prodotto di due periodi è anch'esso un periodo, perciò i periodi formano un anello.

Inclusione I vari tipi di numeri sono costruiti per estensioni successive, partendo dai numeri naturali fino ad arrivare ai complessi , ottenendo la sequenza classica

È possibile raffinare la sequenza introducendo i numeri algebrici , che sono tutti i numeri reali e complessi, non trascendenti, per cui

Tutti i tipi di numeri fino agli algebrici (prima riga), sono numerabili, mentre quelli della seconda, che include i trascendenti, non lo sono.

I periodi, invece sono numerabili pur includendo alcuni trascendenti come , e quindi sono inclusi nei complessi.

Se è facile riuscire a rappresentare dei complessi, anche trascendenti, come periodi, è difficile trovare dei numeri che sicuramente non siano periodi. La costante di Nepero e, è un numero trascendente che potrebbe non essere un periodo.

Nel 2008, Masahiko Yoshinaga ha scoperto come produrre un reale computabile che non sia un periodo.

Note

Bibliografia

Matthew von Hippel, Il codice delle particelle, Le Scienze n. 607, marzo 2019

Voci correlate Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer Equazion di Picard-Fuchs Funzione L

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