In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.
Definizione Data una funzione , la controimmagine di un insieme tramite è un sottoinsieme di , indicato con L'uso di tale scrittura comporta un lieve abuso di notazione, in quanto è la stessa utilizzata per la funzione inversa, che agisce su elementi e non su insiemi. tale che appartiene a se e solo se appartiene a . In modo equivalente:
Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di , la cui notazione è leggermente impropria:
Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati , sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.
Proprietà Considerata una funzione , valgono le seguenti proprietà:
Se , allora
In potrebbe esserci un elemento che appartiene all'immagine di ma non a .
La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli: In generale:
La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: Questa proprietà e la precedente caratterizzano come un omomorfismo di reticoli. In generale:
La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli:
Per ogni sottoinsieme del dominio, allora e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione è iniettiva.
Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in ma che hanno la stessa immagine di un elemento in . Ovviamente se è iniettiva questo non può succedere.
Per ogni sottoinsieme del codominio, allora e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione è suriettiva.
Potrebbero esserci elementi in che non appartengono all'immagine di . Se però è suriettiva questo non accade.
Se ; e allora
Esempi Sia tale che . Allora
Note
Bibliografia Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894. Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.
Voci correlate Immagine (matematica) Funzione composta Funzione inversa
Collegamenti esterni
Categoria:Teoria degli insiemi Categoria:Matematica di base