In matematica, il prodotto tensoriale, indicato con , è un concetto che generalizza la nozione di operatore bilineare e può essere applicato a molteplici oggetti matematici, ad esempio a spazi vettoriali e moduli.
Nel caso di due spazi vettoriali e sul campo , il prodotto tensoriale è ancora uno spazio vettoriale su . Si può pensare ad una applicazione bilineare
come ad un prodotto tra i vettori di e con valori in un terzo spazio vettoriale .
Dato un altro spazio ed un omomorfismo
si ha che è un prodotto su a valori in . Si può dimostrare che esiste un "prodotto universale" a valori in un certo spazio con la proprietà che tutti i possibili prodotti su si possono ottenere, in modo unico, trasformando linearmente il codominio . Se e sono rispettivamente elementi di e si denota con il prodotto di e in . Per dimostrarne l'esistenza lo si costruisce come spazio quoziente dello spazio vettoriale libero su imponendo le relazioni ovvie per far sì che la proiezione dopo l'immersione sia bilineare.
Prendendo spazi quozienti del prodotto tensoriale si possono aggiungere proprietà a . Ad esempio il prodotto universale simmetrico si ottiene imponendo la relazione
cioè prendendo il quoziente
dove è il sottospazio generato da tutti gli elementi del tipo . Il prodotto universale antisimmetrico invece si ha imponendo la relazione
Queste costruzioni sono fondamentali in svariati campi (ad esempio permettono di definire metriche e forme differenziali sugli spazi tangenti di varietà differenziabili).
Partendo con degli -moduli e (strutture che generalizzano gli spazi vettoriali prendendo gli scalari in un anello invece che in un campo), e supponendo commutativo per semplicità, si può dare la stessa definizione che per il caso degli spazi vettoriali di (anche in questo caso si può omettere il pedice a se è evidente dal contesto l'anello rispetto al quale si stanno considerando i moduli). Anche la dimostrazione dell'esistenza rimane la stessa. Nonostante le similitudini iniziali con il caso degli spazi vettoriali il prodotto tensoriale tra moduli può riservare delle sorprese. Ad esempio
se ed sono coprimi.
Definizione
Riprendendo quanto detto nell'introduzione, si definisce prodotto tensoriale di due spazi vettoriali , uno spazio assieme ad una applicazione bilineare
per cui data una qualsiasi operazione bilineare esiste un unico omomorfismo
che fattorizza tramite (vedi il primo diagramma a destra), cioè tale che
Un altro modo di scrivere la stessa cosa (vedi il secondo diagramma a destra) è che la coppia è un elemento universale per il funtore dalla categoria degli spazi vettoriali a quella degli insiemi che manda nella famiglia delle funzioni bilineari
facendo corrispondere ad un omomorfismo
la funzione che associa ad un prodotto
il prodotto . In figura
Si dirà anche che , o semplicemente , gode della proprietà universale per i prodotti tensoriali.
Se esistono due prodotti e che soddisfano la definizione allora esiste un unico isomorfismo tra e tale che per ogni coppia . Per la dimostrazione di questo e dell'esistenza di un prodotto tensoriale si rimanda alle relative sottosezioni.
Il codominio contiene tutti gli elementi del tipo , che sono immagini tramite delle coppie , ma l'elemento generico di non è di questa forma, è piuttosto una somma finita di tali termini, cioè, se è finito, sarà del tipo
Se e hanno dimensione ed con basi e rispettivamente, i vettori per e formano una base di (vedi Coordinate).
Sempre in dimensione finita, esiste un isomorfismo naturale tra lo spazio delle forme bilineari e (vedi Proprietà), che in geometria differenziale è spesso sfruttato per definire (e usando l'isomorfismo canonico dei due spazi con e rispettivamente). Per una trattazione più completa rispetto a questo punto di vista si rimanda alla voce Tensore.
Esistenza Si è definito il prodotto tensoriale dicendo che è una coppia con una certa proprietà. In questa sezione si dimostrerà che una tale coppia effettivamente esiste.
L'idea di base è che tra gli elementi di uno spazio vettoriale candidato a "codominio universale" per un prodotto, non deve sussistere nessuna relazione ulteriore a quelle necessarie per rendere il prodotto bilineare. Quindi si parte da uno spazio libero, senza relazioni, e poi si pone uguale ciò che si vuole sia uguale (il che significa prendere quozienti, vedi il libro di Artin Algebra capitoli sugli anelli e sui moduli).
Sia lo spazio vettoriale libero su . Si ricorda che è lo spazio vettoriale che come base ha tutte le coppie . Sia il sottospazio generato da tutti i vettori del tipo
Mandando a zero i vettori di , cioè passando al quoziente , la proiezione dopo l'immersione diventa bilineare. La coppia , dove è la proiezione canonica ed l'immersione di in , soddisfa le richieste ed è un prodotto tensoriale di e . La situazione può essere riassunta dal diagramma commutativo
La dimostrazione è immediata, infatti è una base di quindi esiste un'unica estensione lineare di su , e visto che il nucleo di contiene (perché è bilineare) la proprietà caratteristica della proiezione nello spazio quoziente ci dà l'unica applicazione lineare per cui , cioè esiste un'unica tale che (chiamando la funzione )
Unicità L'unicità del prodotto tensoriale, nel senso indicato sopra, è una proprietà di tutti gli elementi universali.
L'unico punto non banale della dimostrazione è notare che se è un prodotto tensoriale, e la funzione
è lineare e lascia fissi tutti i vettori della forma allora è l'identità. L'idea è fattorizzare tramite . Infatti per ipotesi è bilineare su quindi esiste un'unica tale che
e dato che l'applicazione identità soddisfa queste condizioni, deve essere
Ora si supponga che e soddisfino entrambi la proprietà universale, allora esistono
e
tali che per ogni coppia si ha
e
Sostituendo l'una nell'altra si ha
da cui, per quanto detto all'inizio, è l'identità su mentre è l'identità su . In altre parole è un isomorfismo, ed è l'unico per cui valga
Proprietà Di seguito , e saranno spazi vettoriali su un campo , ed , e dei loro rispettivi elementi. Associatività:
con
L'applicazione è ben definita perché è assegnato il valore ad un insieme di generatori. Fissiamo . Sia
la funzione bilineare
Se la fattorizziamo tramite il prodotto tensoriale (applichiamo la proprietà universale) abbiamo l'applicazione lineare
che manda in . Anche la funzione
che manda in è bilineare e fattorizzandola abbiamo l'omomorfismo voluto. Possiamo costruire in modo analogo l'inversa ottenendo l'isomorfismo. Commutatività:
con
Per dimostrarlo è sufficiente fattorizzare tramite il prodotto tensoriale la funzione bilineare
con
In modo analogo possiamo ottenere l'inversa.
Attenzione: questo non vuole in alcun modo suggerire che in i due vettori e sono uguali, semmai è vero il contrario. Distributività rispetto alla somma diretta:
con
Questa volta non conviene usare il tipo di dimostrazione dei casi precedenti perché non riusciremmo a costruire l'inversa. Dimostriamo allora che ogni prodotto su si fattorizza in modo unico tramite . L'applicazione
che manda in è bilineare. Se è uno spazio vettoriale e un'applicazione bilineare da in , possiamo scrivere
questo ci dà la fattorizzazione tramite . Tensorizzare con il campo degli scalari:
con
Intuitivamente è quasi ovvio, formalmente dimostriamo che e la mappa bilineare
soddisfano la proprietà universale. Se
è bilineare, allora
fattorizzando in modo unico tramite . . Segue dalle precedenti. . Segue dalle precedenti. Se e hanno dimensione finita esiste un isomorfismo canonico
che associa a (che calcolata nella coppia vale ). Infatti
è bilineare, quindi possiamo fattorizzarla tramite il prodotto tensoriale per ottenere un omorfismo che è suriettivo e quindi anche iniettivo perché i due spazi hanno la stessa dimensione.
Esempi Sia uno spazio vettoriale su un campo Tre esempi basilari per la geometria differenziale quando è lo spazio tangente ad un punto di una varietà differenziale sono: ( fattori), lo spazio dei tensori controvarianti di grado ; spazio dei tensori covarianti di grado ; spazio dei tensori misti di tipo . Con questi si può definire il fibrato tensoriale
di tipo come l'unione disgiunta dei vari per tutti i punti di , cioè:
assieme alla proiezione canonica (si ricorda che se è una famiglia di insiemi indicizzata da la loro unione disgiunta è ). Più in generale, sia in geometria differenziale che in topologia algebrica sono ricorrenti i fibrati tensoriali, cioè fibrati vettoriali che hanno per fibra un prodotto tensoriale. In particolare, se e sono due fibrati vettoriali, si indica con il fibrato tensoriale che ha come fibra il prodotto tensoriale delle fibre dei fattori e struttura di fibrato indotta nel modo ovvio. In topologia algebrica, e più precisamente nella K-teoria, per studiare la struttura geometrica di uno spazio topologico si costruisce un certo anello partendo dall'insieme dei fibrati vettoriali su . Le informazioni geometriche interessanti possono essere contenute solo in fibrati non banali (cioè in fibrati che non si spezzano globalmente nel prodotto cartesiano dello spazio di base con la fibra), quindi si considerano equivalenti due fibrati vettoriali e quando esistono due interi , tali che la somma di Whitney
è isomorfa a
dove
è il fibrato banale su con fibra -dimensionale. L'insieme modulo questa relazione di equivalenza forma un anello, indicato con , rispetto alla somma
e il prodotto
dove è la classe di equivalenza di . Si noti che è solo un semigruppo rispetto alla somma di Whitney. In geometria differenziale, fra i vari modi di definire una connessione su un fibrato vettoriale c'è quello di considerarla come una mappa che ad ogni sezione di associa una sezione del fibrato tensoriale
che ha per fibra su un punto lo spazio vettoriale , in modo che se e sono sezioni di allora se è una sezione di ed una funzione liscia su allora Se è un'estensione di possiamo cambiare il campo dei coefficienti di da a prendendo il prodotto tensoriale (il a pedice di significa che abbiamo considerato come spazio vettoriale su ), che infatti è un -spazio vettoriale in modo canonico:
per ogni e appartenenti ad . Nel caso particolare con e il processo si dice di complessificazione ed è utile per studiare la struttura degli endomorfismi di con autovalori complessi.
Coordinate Basi e coordinate Siano e due spazi vettoriali con basi e rispettivamente.
Si consideri il prodotto tensoriale costruito sopra. È chiaro che
è un insieme di generatori per . Un qualsiasi altro prodotto che goda della proprietà universale deve (vedi Definizione) essere isomorfo a con che corrisponde a , quindi si può affermare che genera .
Per un generico sia
e
Grazie alla bilinearità di possiamo espandere come
per esempio, bastano i vettori con e per generare .
Nelle proprietà si è visto che ha dimensione , quindi i , che in totale sono , formano una base.
Fissata la base , come accade per tutti gli spazi vettoriali, ogni elemento di è unicamente determinato dalle sue coordinate. Più esplicitamente se appartiene a , esiste un unico insieme di numeri tale che
Tensori covarianti, controvarianti e misti in coordinate Per alleggerire la notazione, in questa e nelle prossime due sezione si userà la convenzione di Einstein. In poche parole, quando un indice appare sia a pedice che ad apice in una formula si sottintende la sommatoria su quell'indice. Ad esempio
in realtà sta per
Come accennato negli esempi, in geometria differenziale ricorrono spesso prodotti tensoriali del tipo
dove è lo spazio tangente ad un punto di una varietà differenziale e è il suo duale. Se i fattori sono mentre i sono , i vettori di questo prodotto tensoriale si dicono tensori (misti) di tipo .
Nel caso particolare in cui cambiano nome in tensori controvarianti di ordine , mentre se ci sono solo fattori diventano i tensori covarianti di ordine .
Si fissi una base per e la duale su , per esempio