In matematica, la Funzione di Čebyšëv può essere una di due funzioni strettamente legate. La prima funzione di Čebyšëv o è data da
con la somma estesa a tutti i numeri primi che sono minori uguali a .
La seconda funzione di Čebyšëv è definita similmente, con la somma estesa a tutte le potenze dei numeri primi minori di
dove è la funzione di von Mangoldt. Le funzioni di Čebyšëv , specialmente la seconda , sono spesso usate nelle dimostrazioni legate ai numeri primi, poiché è più semplice lavorare con esse che con la funzione enumerativa dei primi, (Vedi la formula esatta, sotto.). Entrambe le funzioni di Čebyšëv sono asintotiche a , una relazione valida anche nella teorema dei numeri primi.
Entrambe le funzioni sono nominate in onore di Pafnutij L'vovič Čebyšëv.
Relazioni La seconda funzione di Chebyshev può essere vista come una relazione alla prima scrivendola come
dove è l'intero univoco tale che e . I valori di sono dati a OEIS:. Una relazione più diretta è data da
Notare che quest'ultima somma ha un numero finito ti termini non nulli, come
La seconda funzione di Čebyšëv è il logaritmo del minimo comune multiplo degli interi da 1 a .
I valori di per gli interi variabili sono dati a OEIS:.
Asintoti e limiti Sono noti i seguenti limiti per la funzione di Čebyšëv:Pierre Dusart, "Sharper bounds for , , , ", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The th prime is greater than for ", Mathematics of Computation, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.Pierre Dusart, "Estimates of some functions over primes without R.H.". arXiv:1002.0442 (in queste formule è il esimo numero primo , , etc.)
Inoltre, sotto l'ipotesi di Riemann,
per ogni
I limiti superiori esistono per entrambe e tali che,
per ogni .
Una spiegazione della costante 1,03883 è data a OEIS:.
La formula esatta Nel 1895, Hans Carl Friedrich von Mangoldt provòDavenport, Harold (2000). In Multiplicative Number Theory. Springer. p. 104. ISBN 0-387-95097-4. Google Book Search. una formula esplicita per come una somma degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann:
(Il valore numerico di è .) Qui assume i valori degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, e è la stessa , eccetto che i suoi salti di discontinuità (le potenze dei primi) assumono il valore a metà tra i varoi di sinistra e di destra:
Dalla serie di Taylor per il logaritmo, l'ultimo termine nella formula esplicita può essere inteso come una sommatoria di degli zeri non banali della funzione zeta di Riemann, = −2, −4, −6, ..., cioè
corrisponde al polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine Similmente, il primo termine, , corrisponde al polo semplice della funzione zeta in 1. Essendo un polo anziché uno zero, rappresenta il segno opposto del termine
Proprietà Un teorema dovuto a Erhard Schmidt afferma che, per alcune costanti positive esplicite , ci sono infiniti numeri naturali tali che
e infiniti numeri naturali tali che
Erhard Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze", Mathematische Annalen, 57 (1903), pp. 195–204.G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", Acta Mathematica, 41 (1916) pp. 119–196.
In notazione -piccolo, si potrebbe scrivere quanto sopra come
Hardy e Littlewood dimostrarono, che
Relazioni al primoriale
La prima funzione di Čebyšëv è il logaritmo di primoriale di , indicato come :
Questo prova che il primorile è asintoticamente uguale a , dove "" è la notazione -piccolo (vedi notazione -piccolo) e insieme al teorema dei numeri primi determina il comportamento asintotico di .
Relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi La funzione di Čebyšëv può essere messa in relazione alla funzione enumerativa dei numeri primi come segue. Definiamo
Quindi
La transizione da alla funzione enumerativa dei numeri primi, , è data dall'equazione
Sicuramente , quindi, per motivi di approssimazione, quest'ultima relazione può essere riformulata come
L'ipotesi di Riemann L'ipotesi di Riemann afferma che tutti gli zeri non banali della funzione zeta hanno come parte reale . In questo caso, , e può essere dimostrato che
Quanto sopra, implica che
Una buona prova che l'ipotesi potrebbe essere vera viene dal fatto proposto da Alain Connes e altri, che se differenziamo la formula di von Mangoldt rispetto a otteniamo . Manipolandola, otteniamo la formula di traccia per l'esponenziale dell'operatore hamiltoniano che soddisfa
e
dove la somma trigonometrica può essere considerata la traccia dell'operatore (meccanica statistica) , che è vero solo se .
Usando l'approccio semiclassico il potenziale di soddisfa:
con come .
soluzione a questa equazione integrale non lineare può essere ottenuta (tra gli altri) come
per ottenere l'inverso del potenziale:
Funzione liscia La funzione liscia è definita come
Può essere dimostrato che
Varianti della formula
La funzione Čebyšëv valutata in minimizza la funzionalità
quindi
Note
Bibliografia Tom M. Apostol (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
Collegamenti esterni Weisstein, Eric W. Chebyshev functions. MathWorld. "Mangoldt summatory function". PlanetMath. "Chebyshev functions". PlanetMath. Riemann's Explicit Formula , con immagini e video
Categoria:Funzioni aritmetiche