Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo funzione dello stato e del controllo . , con e matrici simmetriche e semi definite positive e simmetrica e definita positiva.
Validità ipotesi iniziali Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:
La matrice è simmetrica mentre risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.
La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo sia unico.
Teorema: esistenza soluzione Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo .
Teorema: esistenza soluzione stabilizzante Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.
Il controllo ottenuto è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.
Tempo finito controllo
controllore in retroazione dallo stato
DRE la cui soluzione fornisce P(t) con condizione estremale
Tempo infinito controllo
controllore in retroazione dallo stato
ARE la cui soluzione fornisce P
Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito (→∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce . L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.
Teorema: robustezza intrinseca
Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂ relative al processo nominale con upperbound costante in frequenza e pari a . In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).
Bibliografia Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora, Bologna, 1993. Marro G., Controlli automatici - 5ª edizione, Zanichelli, 2004 K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996. P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.
Voci correlate Filtro di Kalman Loop transfer recovery (LTR) Controllo lineare quadratico gaussiano (LQG) Controllo ottimo Teorema di Masreliez Controllo robusto Prestazione di sensibilità
Categoria:Ricerca operativa Categoria:Controlli automatici