In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio regolare è uno spazio topologico che soddisfa il seguente assioma di separazione: Per ogni chiuso C di X, e per ogni punto x non appartenente a C, esistono un intorno aperto U di x e un aperto V contenente C che siano disgiunti. thumb|right|Un chiuso ed un punto sono sempre contenuti in due aperti disgiunti. Uno spazio T3 è uno spazio regolare che è anche T1. Questa condizione è necessaria affinché l'assioma T3 implichi gli assiomi di separazione precedenti T0, T1 e T2.
Nelle pubblicazioni matematiche, le due definizioni sono spesso scambiate, a seconda del periodo storico o del gusto dell'autore.
Definizione equivalente Se X è T1, una condizione equivalente consiste nel chiedere che per ogni elemento x di X, e per ogni intorno aperto A di x, esista un altro intorno aperto W di x, tale che la sua chiusura cl(W) è contenuta in A.
Dimostrazione dell'equivalenza Necessità Supponiamo X spazio T3. Siano x appartenente a X e A un suo intorno aperto. In tal caso il complementare di A, C, è un chiuso che non contiene x, dunque per ipotesi di regolarità esistono un intorno aperto W di x e un aperto V contenente C, disgiunti. W è contenuto allora nel complementare di V, il chiuso K; passando alle rispettive chiusure si ha un'analoga relazione, ossia cl(W) è contenuta in cl(K), cioè in K stesso. Inoltre, il complementare di V, K dovrà essere a sua volta contenuto nel complementare di C, che è proprio A. Perciò W è intorno aperto di x la cui chiusura è contenuta in A.
Sufficienza Supponiamo che valga la seconda condizione. Siano C chiuso in X e x non appartenente a C. Il complementare di C, l'aperto A, è intorno del punto x, dunque per ipotesi esiste un intorno aperto U di x la cui chiusura è contenuta in A. Il complementare di cl(U), V, è così un aperto che contiene il complementare di A, cioè proprio C, mentre U stesso è un intorno aperto di x disgiunto da V. Dunque X è regolare.
Voci correlate Spazio T0. Spazio T1 Spazio di Hausdorff, anche detto T2 Spazio normale (vedi per T4) Assiomi di separazione.
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Categoria:Topologia generale