In matematica un quadrato perfetto o numero quadrato è un numero intero che può essere espresso come il quadrato di un altro numero intero, ovvero un numero la cui radice quadrata principale è anch'essa un numero intero. Ad esempio, 9 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 3 × 3. Un numero è un quadrato perfetto quando, scomposto, presenta tutti esponenti pari: scrivendo il numero come prodotto di potenze di numeri primi ottenuti dalla scomposizione si ha che la radice quadrata di tale prodotto è intera se tutti i fattori si estraggono di radice, ciò può accadere solo se l'esponente di ogni fattore è pari.
Talora da questi numeri si esclude lo zero, cioè per quadrato perfetto si intende un intero positivo che è il quadrato di un altro intero positivo.
Esempi I primi 100 quadrati perfetti sono:
02 = 0 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 112 = 121 122 = 144 132 = 169 142 = 196 152 = 225 162 = 256 172 = 289 182 = 324 192 = 361
202 = 400 212 = 441 222 = 484 232 = 529 242 = 576 252 = 625 262 = 676 272 = 729 282 = 784 292 = 841 302 = 900 312 = 961 322 = 1024 332 = 1089 342 = 1156 352 = 1225 362 = 1296 372 = 1369 382 = 1444 392 = 1521
402 = 1600 412 = 1681 422 = 1764 432 = 1849 442 = 1936 452 = 2025 462 = 2116 472 = 2209 482 = 2304 492 = 2401 502 = 2500 512 = 2601 522 = 2704 532 = 2809 542 = 2916 552 = 3025 562 = 3136 572 = 3249 582 = 3364 592 = 3481
602 = 3600 612 = 3721 622 = 3844 632 = 3969 642 = 4096 652 = 4225 662 = 4356 672 = 4489 682 = 4624 692 = 4761 702 = 4900 712 = 5041 722 = 5184 732 = 5329 742 = 5476 752 = 5625 762 = 5776 772 = 5929 782 = 6084 792 = 6241
802 = 6400 812 = 6561 822 = 6724 832 = 6889 842 = 7056 852 = 7225 862 = 7396 872 = 7569 882 = 7744 892 = 7921 902 = 8100 912 = 8281 922 = 8464 932 = 8649 942 = 8836 952 = 9025 962 = 9216 972 = 9409 982 = 9604 992 = 9801
Proprietà Un numero m è un quadrato perfetto se e solo se è possibile disporre m punti per formare un quadrato geometrico, per questo l'elevamento alla seconda potenza è chiamato anche elevamento al quadrato.
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La formula dell'n-esimo quadrato perfetto è n2.
Si osserva inoltre che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi è la successione dei numeri dispari positivi: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 2n - 1 ,2n + 1 , ...
Ln-esimo quadrato perfetto è perciò equivalente alla somma dei primi n numeri dispari, come si può vedere dalle figure sopra, dove un quadrato viene ottenuto dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti. Ad esempio: 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
La somma dei numeri dispari si può scrivere sotto forma di sommatoria: .
Ln-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dal precedente nel seguente modo: n2 = (n-1)2 + (2n-1) Ad esempio: 62 = 52 + (2×6 - 1) = 25 + 11 = 36
L'''n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dai precedenti due nel seguente modo: n2 = 2 × (n-1)2 - (n-2)2 + 2 Ad esempio: 62 = 2×52 - 42 + 2 = 2×25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36
Ln-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dai precedenti tre nel seguente modo: n2 =(n-1)2 + (n-2)2 - (n-3)2 + 4 Ad esempio: 62 = 52 + 42 - 32 + 4 = 25 + 16 - 9 + 4 = 45 - 9 = 36
Un quadrato perfetto equivale anche alla somma di due numeri triangolari consecutivi. La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato. Ogni numero quadrato dispari è anche un numero ottagonale centrato.
Il teorema dei quattro quadrati dice che ogni intero positivo può essere scritto come somma di 4 quadrati perfetti. 3 quadrati perfetti non sono sufficienti per i numeri nella forma 4m(8h + 7). Un intero positivo può essere scritto come somma di due quadrati se e solo se la sua fattorizzazione non contiene potenze dispari di numeri primi nella forma 4k+3. Questo risultato è generalizzato nel problema di Waring.
I numeri quadrati sono gli unici ad avere un numero dispari di divisori. Un intero positivo che non ha come divisore nessun quadrato perfetto ad eccezione di 1 si chiama privo di quadrati.
Poiché il prodotto di due numeri negativi è positivo, così come quello di due numeri positivi, nessun numero quadrato è negativo. Ciò ha conseguenze importanti. Ne deriva, in particolare, che non si possa estrarre la radice quadrata di un numero negativo all'interno dei numeri reali. Questo lascia una lacuna nell'insieme dei reali che i matematici hanno riempito creando i numeri immaginari, a cominciare da i, che è per convenzione la radice quadrata di -1.
Quadrati perfetti razionali La definizione di quadrato perfetto può essere estesa all'ambito dei numeri razionali. Si introduce così il concetto di quadrato perfetto razionale''', cioè un numero razionale non negativo esprimibile come frazione che in forma ridotta ha come numeratore e come denominatore due quadrati perfetti, il secondo dei quali diverso da 0.
Per esempio 4/9 = 2/3 × 2/3.
I quadrati perfetti razionali sono i soli numeri razionali non negativi la cui radice quadratica principale è anch'essa un numero razionale (non negativo); le radici quadrate di tutti gli altri numeri razionali sono numeri irrazionali, cioè non si possono esprimere come frazioni.
Note
Voci correlate Numero triangolare Numero poligonale Numero quadrato triangolare Identità dei quattro quadrati di Eulero Numero automorfo Quadrato (algebra)
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