In matematica, con numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) si indica un intero algebrico α che è reale e maggiore di , ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di in valore assoluto.
Se ad esempio è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato , ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in da
con and entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato
In questo caso si hanno le due condizioni
che sono soddisfatte dal numero aureo . Abbiamo infatti
Nel caso i coniugati siano non maggiori di , e uno di essi abbia valore assoluto esattamente , il numero è detto numero di Salem.
Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. Le stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.
I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza -sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di : abbiamo , e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.
Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico e dei suoi coniugati è un numero intero. Se è un numero di Pisot, le potenze -sime degli altri coniugati tendono a per che tende a infinito.
Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione : questo numero (approssimativamente 1,324718) è noto anche come numero plastico. "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado
uguale al numero irrazionale algebrico .
Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo .
Tabella dei numeri di Pisot Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1,618, in ordine crescente.
# Valore Radice di... 1 1,3247179572447460260 2 1,3802775690976141157 3 1,4432687912703731076 4 1,4655712318767680267 5 1,5015948035390873664 6 1,5341577449142669154 7 1,5452156497327552432 8 1,5617520677202972947 9 1,5701473121960543629 10 1,5736789683935169887 11 1,5900053739013639252 12 1,5911843056671025063 13 1,6013473337876367242 14 1,6017558616969832557 15 1,6079827279282011499 16 1,6081283851873869594 17 1,6119303965641198198 18 1,6119834212464921559 19 1,6143068232571485146 20 1,6143264149391271041 21 1,6157492027552106107 22 1,6157565175408433755 23 1,6166296843945727036 24 1,6166324353879050082 25 1,6171692963550925635 26 1,6171703361720168476 27 1,6175009054313240144 28 1,6175012998129095573 29 1,6177050699575566445 30 1,6177052198884550971 31 1,6178309287889738637 32 1,6178309858778122988 33 1,6179085817671650120 34 1,6179086035278053858 35 1,6179565199535642392 36 1,6179565282539765702 37 1,6179861253852491516 38 1,6179861285528618287
Note
Collegamenti esterni
Categoria:Costanti matematiche