La teoria di Newton-Cartan (o gravitazione newtoniana geometrizzata) è una riformulazione geometrica della gravità newtoniana introdotta per la prima volta da Élie Cartan e Kurt Friedrichs e successivamente sviluppata da Dautcourt, Dixon, Dombrowski e Horneffer, Ehlers, Havas, Künzle, Lottermoser, Trautman, e altri. In questa riformulazione, le somiglianze strutturali tra la teoria di Newton e la teoria della relatività generale di Albert Einstein sono facilmente visibili, ed è stata usata da Cartan e Friedrichs per dare una formulazione rigorosa del modo in cui la gravità newtoniana può essere vista come un limite specifico della relatività generale, e da Jürgen Ehlers di estendere questa corrispondenza a soluzioni specifiche della relatività generale.
Spaziotempo classico Nella teoria di Newton-Cartan, si inizia con una varietà quadridimensionale liscia e definisce due metriche (degeneri). Una metrica temporale con segnatura , utilizzato per assegnare lunghezze temporali ai vettori su e una metrica spaziale con segnatura . Si richiede anche che queste due metriche soddisfino una condizione di trasversalità (o "ortogonalità"), . Pertanto, si definisce uno spaziotempo classico come un quadrupla ordinata , dove e sono come descritti, è un operatore di derivata covariante compatibile con le metriche; e le metriche soddisfano la condizione di ortogonalità. Si potrebbe dire che uno spaziotempo classico è l'analogo di uno spaziotempo relativistico , dove è una metrica lorentziana liscia sulla varietà .
Formulazione geometrica dell'equazione di Poisson Nella teoria della gravità di Newton, l'equazione di Poisson si scrive come
dove è il potenziale gravitazionale, è la costante gravitazionale e è la densità di massa. Il principio di equivalenza debole motiva una versione geometrica dell'equazione del moto per una particella puntiforme nel potenziale
dove è la massa inerziale e la massa gravitazionale. Poiché, secondo il principio di equivalenza debole , la corrispondente equazione del moto
non contiene più un riferimento alla massa della particella. Seguendo l'idea che la soluzione dell'equazione è quindi una proprietà della curvatura dello spazio, si costruisce una connessione in modo che l'equazione geodetica
rappresenta l'equazione del moto di una particella puntiforme nel potenziale . La connessione che ne risulta è
insieme a e ( ). La connessione è stata costruita in un sistema inerziale ma può essere dimostrata valida in qualsiasi sistema inerziale mostrando l'invarianza di e sotto trasformazioni di Galileo. Il tensore di curvatura di Riemann nelle coordinate del sistema inerziale di questa connessione è quindi dato da
dove le parentesi stanno a significare la combinazione antisimmetrica del tensore . Il tensore di Ricci è dato da
che porta alla seguente formulazione geometrica dell'equazione di Poisson
Più esplicitamente, se gli indici i e j spaziano sulle coordinate spaziali 1, 2, 3, allora la connessione è data da
il tensore di curvatura di Riemann è dato da
e il tensore di Ricci e lo scalare di Ricci è dato da
dove tutti i componenti non elencati sono uguali a zero.
Si noti che questa formulazione non richiede l'introduzione del concetto di metrica: la sola connessione fornisce tutte le informazioni fisiche.
Note
Bibliografia
Categoria:Gravitazione