La funzione Onsager–Machlup è una funzione che riassume la dinamica di un processo stocastico continuo. Viene utilizzato per definire una funzione di densità di probabilità per un processo stocastico ed è simile alla Lagrangiana di un sistema dinamico . Prende il nome da Lars Onsager e Stefan Machlup che furono i primi a considerare tali densità di probabilità.Onsager, L. and Machlup, S. (1953)
La dinamica di un processo stocastico continuo X dal tempo t = 0 a t = T in una dimensione, che soddisfa un'equazione differenziale stocastica dove W è un processo di Wiener, può essere descritto approssimativamente dalla funzione di densità di probabilità del suo valore in un numero finito di punti nel tempo :
dove e , e .
Un'approssimazione simile è possibile per processi in dimensioni superiori.
L'approssimazione è più accurata per molto piccoli, ma nel limite la funzione di densità di probabilità diventa mal definita, uno dei motivi è che il prodotto dei termini diverge all'infinito.
Nonostante questo, per definire una densità per il processo stocastico continuo X, si considerano comunque i rapporti di probabilità di X che giaciono entro una piccola distanza ε dalle curve lisce e :Stratonovich, R. (1971)
con ε → 0, dove L è la funzione di Onsager-Machlup .
Definizione Consideriamo una varietà Riemanniana con d-dimensioni e un processo di diffusione su con generatore infinitesimale dove è l'operatore Laplace-Beltrami e è un campo vettoriale.
Per ogni coppia di curve lisce qualsiasi vale:
dove è la distanza Riemanniana, denotano le derivate prime di , , e è chiamata funzione di Onsager–Machlup.
La funzione Onsager–Machlup è data da:
dove è la norma Riemanniana nello spazio tangente in x, è la divergenza di in x, e è la curvatura scalare in x.Takahashi, Y. and Watanabe, S. (1980)Fujita, T. and Kotani, S. (1982)Wittich, Olaf
Esempi Gli esempi seguenti forniscono espressioni esplicite per la funzione Onsager-Machlup di processi stocastici continui.
Processo di Wiener sulla retta reale La funzione Onsager-Machlup di un processo di Wiener sulla retta reale R è data da: Ikeda, N. and Watanabe, S. (1980), Chapter VI, Section 9
Dimostrazione:
Sia un processo di Wiener su R e sia φ : [0, T ] → R una curva differenziabile due volte tale che .
Definire un altro processo per e una misura per
Per ogni ε > 0, la probabilità che per ogni t ∈ [0, T] soddisfi
Per il teorema di Girsanov, la distribuzione di Xφ sotto Pφ è uguale alla distribuzione di X sotto P, quindi quest'ultima può essere sostituita dalla prima:
Per il lemma di Itō vale la seguente equaglianza:
Dove è la derivata seconda di φ, e quindi questo termine è di ordine ε nell'evento in cui per ogni t ∈ [0, T ] e scomparirà nel limite ε → 0, quindi
Processi di diffusione con coefficiente di diffusione costante su spazio euclideo La funzione di Onsager-Machlup nel caso unidimensionale con coefficiente di diffusione costante σ è data da:Dürr, D. and Bach, A. (1978)
Nel caso con d-dimensioni, con σ uguale alla matrice unitaria, la funzione è data da , dove || ⋅ || è la norma euclidea e
Generalizzazioni Le generalizzazioni sono state ottenute indebolendo la condizione di differenziabilità sulla curva φ.Zeitouni, O. (1989) Invece di prendere la distanza massima tra il processo stocastico e la curva in un intervallo di tempo, sono state considerate altre condizioni come distanze basate su norme completamente convessee norme di tipo Hölder, Besov e Sobolev.Shepp, L. and Zeitouni, O. (1993)Capitaine, M. (1995)
Applicazioni La funzione Onsager-Machlup può essere utilizzata per scopi di riponderazione e campionamento delle traiettorie,Adib, A.B. (2008). nonché per determinare la traiettoria più probabile di un processo di diffusione.Dürr, D. and Bach, A. (1978).
Lagrangiana Integrazione funzionale
Note
Collegamenti esterni Funzione di Onsager-Machlup. Enciclopedia della matematica. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Onsager-Machlup_function&oldid=22857
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