In matematica il teorema di Green, il cui nome è dovuto a George Green, pone in relazione un integrale di linea attorno a una curva chiusa semplice e un integrale doppio su di una regione piana limitata dalla medesima curva. Si tratta di un caso speciale, ristretto a due dimensioni, del teorema del rotore, a sua volta caso particolare del teorema di Stokes.

Enunciato Sia una curva chiusa semplice nel piano positivamente orientata (Diremo che la curva orientata positivamente è un'orientazione positiva per la frontiera se per ogni appartenente alla frontiera, l'angolo tra il vettore tangente e il vettore normale alla curva misurato in senso orario è di ) regolare a tratti, e sia la superficie di cui è frontiera. Se e sono due funzioni reali di due variabili reali che hanno le derivate parziali continue su una regione aperta che contiene , allora:.

Poiché il punto iniziale ed il punto finale della curva coincidono, essendo essa chiusa, talvolta si preferisce utilizzare la notazione:

Interpretazione Se si considera un campo vettoriale

su , la quantità

rappresenta l'integrale di , dove è la tangente alla curva in ogni punto. Dunque tale integrale rappresenta la circuitazione del campo lungo la curva .

D'altra parte l'espressione:

è il modulo del rotore di . Infatti, nel caso di un campo planare e di un insieme del piano, il rotore è un vettore parallelo alla normale alla superficie , e dunque:

Quindi l'uguaglianza stabilita dal teorema stabilisce che la circuitazione di un campo vettoriale attraverso una curva è uguale al flusso del rotore del campo attraverso la superficie delimitata da tale curva. Questo è ciò che afferma il teorema del rotore, che è una generalizzazione del teorema di Green al caso di .

Dimostrazione per domini semplici

Il teorema di Green si dimostra se si provano le due equazioni seguenti:

Per semplicità, si consideri come dominio normale rispetto all'asse

dove e sono funzioni di classe , si può calcolare l'integrale doppio della prima relazione:

Avendo utilizzato il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Spezzando il bordo di nell'unione delle quattro curve , , e , si verifica che:

Per valgono le equazioni parametriche , , , e quindi si ottiene:

Per si usano le equazioni parametriche , , , e si ottiene:

Per e la variabile è costante poiché ci si muove su un trattino rettilineo perpendicolare all'asse delle ascisse, il che implica:

Da cui:

Sostituendo il secondo membro con l'integrale della prima relazione definito in precedenza si ottiene:

La seconda relazione è più complessa da dimostrare. In questo caso si ha:

Sia

Essendo

si ha

e quindi

Analogamente

Dalle due relazioni appena ricavate, segue

D'altra parte

Introducendo queste relazioni nell'integrale di linea e semplificando, si ottiene

Essendo

valutando l'integrale al secondo membro

e quindi in conclusione:

che completa la dimostrazione.

Dimostrazione per domini regolari Si consideri un dominio regolare

con domini normali regolari per ogni Ovviamente, per i risultati precedenti, risulta

Poiché le frontiere di due domini adiacenti compaiono due volte nell'integrale di linea, ma con orientazione opposta, questi si annullano:

In conclusione:

Relazione con il teorema di Stokes

Il teorema di Green è un caso speciale del teorema di Stokes che si verifica considerando una regione nel piano Si ponga di avere un campo vettoriale in tre dimensioni la cui componente sia sempre nulla, ossia . Per il membro alla sinistra del teorema di Green si ha:

e per il teorema del rotore (o di Kelvin–Stokes):

dove la superficie è la regione nel piano e è il versore normale in direzione L'integrando diventa:

Sicché si ottiene il membro di destra del teorema di Green:

Relazione con il teorema della divergenza

Considerando campi vettoriali in due dimensioni il teorema di Green è equivalente alla seguente versione bidimensionale del teorema della divergenza:

dove è il versore normale uscente alla frontiera di . Infatti, dal momento che nel teorema di Green è un vettore tangente alla curva, e dato che la curva è orientata in senso antiorario, il vettore normale è il vettore . La sua lunghezza è , e quindi . Detto , il membro alla destra diventa:

che con il teorema di Green assume la forma:

L'implicazione inversa si mostra in modo analogo.

Note

Bibliografia

Voci correlate Gradiente Divergenza Teorema della divergenza Rotore (matematica) Teorema di Stokes Teorema integrale di Cauchy

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Categoria:Calcolo a più variabili Green