In matematica, il piccolo teorema di Wedderburn (o teorema di Maclagan-Wedderburn) afferma che ogni corpo finito è un campo. In altre parole, nel caso finito non c'è distinzione tra corpi e campi.
Storia La dimostrazione originale fu fornita da Joseph Wedderburn nel 1905, che in seguito dimostrò il teorema in altri due modi. Un'altra dimostrazione fu fornita da Leonard Eugene Dickson poco dopo la dimostrazione originale di Wedderburn, e Dickson riconobbe la priorità di Wedderburn. Tuttavia, come scritto da Karen Parshall, la prima dimostrazione di Wedderburn era errata e le sue dimostrazioni successive apparvero solo dopo che ebbe letto la dimostrazione corretta di Dickson. Su questa base, Parshall sostiene che a Dickson dovrebbe essere attribuita la prima dimostrazione corretta.
Una versione semplificata della dimostrazione fu successivamente fornita da Ernst Witt.
Un'ulteriore dimostrazione, basata sulla teoria dei gruppi, fu fornita da Ted Kaczynski nel 1964. Questa dimostrazione, il primo scritto matematico pubblicato da Kaczynski, era una breve nota di due pagine che riconosceva anche le precedenti dimostrazioni storiche.
Dimostrazione
Sia un corpo finito. Poiché il centro è un sottocampo di , supponiamo , è uno spazio vettoriale su di dimensione finita . Sia per assurdo . Si noti che anche i centralizzanti sono spazi vettoriali su e sia la loro dimensione al variare di . Ovviamente . Si consideri il gruppo moltiplicativo e sia . Dal teorema di Lagrange e dal fatto che per un gruppo finito vale l'identità , si ottiene la relazione:
Poiché , dove la sommatoria è definita per tali che , si ottiene un'uguaglianza del tipo
Si noti che divide per ogni . Infatti, sia con e . Poiché è divisore di , divide e quindi divide . Iterando il procedimento si conclude che divide , dunque .
Poiché i polinomi ciclotomici soddisfano le identità
e , divide e in . In base all'uguaglianza risulta che deve dividere , in particolare .
Si consideri il polinomio ciclotomico n-esimo
, e sia una radice n-esima primitiva dell'unità. Poiché (se così non fosse si avrebbe e dunque , impossibile) per risulta . Quindi , da cui l'assurdo.
Otteniamo allora e , che prova l'asserto.
Note
Bibliografia
Mario Curzio, Patrizia Longobardi e Mercede Maj, Lezioni di algebra, Napoli, Liguori editore, 1994, . J. H. Maclagan-Wedderburn, A theorem of finite algebras, Transactions of the American Mathematical Society, 1905. K. H. Parshall, In pursuit of the finite division algebra theorem and beyond: Joseph H M Wedderburn, Leonard Dickson, and Oswald Veblen, Archives of International History of Science, 33: 274–99, 1983.
Categoria:Algebra Categoria:Teoremi dell'algebra Categoria:Teoria dei campi