In geometria discreta piana, il problema delleinstein riguarda l'esistenza di un singolo prototassello che, da solo, formi un insieme aperiodico di prototasselli; cioè, una forma capace di tassellare lo spazio, ma solo in modo non periodico. Una tale forma è chiamata einstein, gioco di parole su ein Stein, che in tedesco significa "una pietra".
A partire dagli anni 1990, a seconda delle particolari definizioni di non periodicità, delle specifiche relative a quali insiemi possano qualificarsi come tasselli e dei tipi di regole di corrispondenza consentite, sono state risolte diverse varianti del problema, tuttavia, la versione più rigorosa di esso è stata risolta nel solo 2023, dopo una scoperta iniziale avvenuta nel 2022.
Il problema delleinstein può essere considerato un'estensione naturale della seconda parte del diciottesimo problema di Hilbert, che chiede di trovare un solo poliedro capace di riempire tutto lo spazio tridimensionale, quindi di tassellare lo spazio, ma in modo tale che nessuna tassellatura ottenuta con quel poliedro fosse isoedrale. Tali tasselli anisoedrali furono trovati da Karl Reinhardt nel 1928, tuttavia, anche se producono tassellature non isoedrali, essi possono comunque tassellare lo spazio solo periodicamente. Cioè la tassellatura può ripetersi regolarmente nello spazio, come un motivo che si replica.
Soluzioni parziali
Nel 1988, Peter Schmitt scoprì un singolo prototassello aperiodico nello spazio euclideo tridimensionale. Le tassellature ottenute con questo prototassello non sono periodiche nel senso ordinario, poiché nessuna di esse coincide con sé stessa dopo un semplice movimento rettilineo, cioè dopo una traslazione. Alcune di esse, tuttavia, ammettono una simmetria elicoidale: tornano cioè a coincidere con sé stesse dopo un movimento che combina una traslazione con una rotazione di un multiplo irrazionale di π: per questo motivo, anche ripetendo l'operazione un numero qualsiasi di volte, non si ottiene mai una traslazione pura. Tale costruzione fu successivamente estesa da John Horton Conway e Ludwig Danzer, che ottennero un prototassello aperiodico convesso, il tassello di Schmitt-Conway-Danzer. Proprio la presenza della simmetria elicoidale portò a riconsiderare quali condizioni dovessero definire la non periodicità. Chaim Goodman-Strauss propose quindi di definire fortemente aperiodica una tassellatura priva, tra le proprie simmetrie, di qualsiasi gruppo ciclico infinito di movimenti euclidei. Secondo questa distinzione, solo gli insiemi di tasselli che impongono tale forma di aperiodicità dovrebbero essere detti fortemente aperiodici, mentre gli altri dovrebbero essere considerati "debolmente aperiodici".
Nel 1996, Petra Gummelt costruì un tassello decagonale decorato, cioè dotato di contrassegni che vincolano le sovrapposizioni ammesse, e dimostrò che, quando sono consentiti due tipi di sovrapposizione tra coppie di tasselli, questi ultimi possono ricoprire il piano, ma solo in modo non periodico. Tuttavia, una tassellatura è di solito intesa come una copertura senza sovrapposizioni, ragion per cui il tassello di Gummelt non è considerato un prototassello aperiodico. All'inizio del 2010, Joshua Socolar e Joan Taylor proposero un insieme aperiodico di tasselli nel piano euclideo composto da un solo tassello - il tassello di Socolar-Taylor. Tale costruzione richiede però regole di accoppiamento che limitano l'orientamento relativo dei tasselli, fanno riferimento ai contrassegni tracciati su di essi e si applicano anche a coppie di tasselli non adiacenti, volendo fare a meno delle quali si può costruire un tassello privo di contrassegni che tuttavia non è connesso. La costruzione può inoltre essere estesa a un tassello tridimensionale connesso, ma non semplicemente connesso, privo di regole di accoppiamento, il quale tuttavia ammette tassellature periodiche in una direzione e quindi è solo debolmente aperiodico.
Il "cappello" e lo "spettro"
Nel novembre 2022, il matematico dilettante David Smith scoprì un tassello la cui forma ricordava vagamente un cappello (hat), formato dall'unione di otto aquiloni aventi angoli interni di 60°, 90°, 120° e 90°, che sembrava poter tassellare il piano solo in modo non periodico. Per avvalorare la propria scoperta, Smith coinvolse il matematico Craig S. Kaplan e, successivamente, Joseph Samuel Myers e Chaim Goodman-Strauss; nel marzo 2023, i quattro pubblicarono quindi un preprint in cui dimostravano che il "cappello", considerato insieme alla propria immagine speculare, forma un insieme aperiodico di prototasselli. Inoltre, sviluppi successivi dimostrarono che il cappello può essere generalizzato a una famiglia infinita di tasselli con la stessa proprietà aperiodica, come poi formalmente pubblicato sul numero di luglio 2024 della rivista Combinatorial Theory.
Nel maggio 2023, Smith, Myers, Kaplan e Goodman-Strauss pubblicarono un nuovo preprint su una famiglia di forme legate al "cappello", chiamate "spettri" (spectre), ciascuna delle quali può tassellare il piano usando soltanto rotazioni e traslazioni. Inoltre, lo "spettro" è un monotassello aperiodico "strettamente "chirale": ciò significa che, anche se in linea di principio si consentisse l'uso sia del tassello sia della sua immagine speculare, ogni tassellatura possibile risulterebbe comunque non periodica e impiegherebbe una sola delle due forme. In altri termini, non esiste alcuna tassellatura del piano che possa essere formata combinando lo spettro con la sua immagine speculare.
Applicazioni Tra le possibili applicazioni macroscopiche in ambito ingegneristico vi sono, da un lato, strutture a nido d'ape ottenute estrudendo nello spessore la tassellatura bidimensionale del "cappello", così da trasformarla in una struttura fisica tridimensionale. Dall'altro lato, la stessa tassellatura può essere usata nella progettazione di materiali compositi: in questo caso, il disegno del "cappello" serve a creare, all'interno di una matrice dura ma fragile, un reticolo continuo di fase duttile, capace di deformarsi plasticamente e di ostacolare la propagazione delle cricche, assorbendo energia prima della rottura. È stato osservato che le strutture a nido d'ape così ottenute presentano un coefficiente di Poisson nullo per un'ampia gamma di densità relative e, di conseguenza, per diversi valori del modulo elastico. Inoltre, rispetto a compositi simili basati su una rete esagonale, quelli costruiti sulla tassellatura del cappello mostrano sia una maggiore rigidezza sia una maggiore tenacità.
Sono inoltre considerate di interesse le applicazioni della famiglia infinita di tasselli derivata dal "cappello". Poiché questi tasselli sono definiti da una geometria che può variare in modo continuo, infatti, anche le proprietà delle strutture ottenute a partire da essi possono variare con continuità. Per esempio, le strutture a nido d'ape basate su questa famiglia mostrano un coefficiente di Poisson regolabile in modo continuo.
Note
Categoria:Tassellazioni