In matematica, in particolare nella teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se e sono interi (entrambi non nulli) e il loro massimo comun divisore è , allora esistono due interi e tali che

In pratica, l'identità afferma che il massimo comun divisore di due numeri interi non nulli può sempre essere espresso come una loro combinazione lineare.

Le possibili coppie di numeri possono essere determinate utilizzando l'algoritmo esteso di Euclide, ma non sono univocamente determinate (nel senso che esistono infinite coppie di numeri che soddisfano l'identità).

Per esempio, consideriamo i numeri e : il massimo comune divisore è , e possiamo scrivere

ma anche

In effetti, a partire da una soluzione , si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

L'identità di Bézout è equivalente all'asserzione che la congruenza lineare (dove è il massimo comun divisore di e ) ammette una soluzione modulo .

L'identità è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro dominio ad ideali principali. Detto esplicitamente, se è un dominio ad ideali principali, e sono elementi di , e è un massimo comune divisore di e , allora esistono elementi e in tali che . Inoltre i massimi comun divisori di e sono tutti e soli i generatori dell'ideale .

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783). Ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dellAritmetica di Diofanto.

Generalizzazioni Più numeri Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati numeri , se è il loro massimo comun divisore, esiste una -upla tale che

Polinomi L'identità di Bézout si applica anche ai polinomi a coefficienti in un campo. Infatti, se è un campo, l'anello è un dominio euclideo, e quindi anche un dominio ad ideali principali. Ad esempio, questa proprietà vale in e in .

Voci correlate Equazione diofantea Equazione diofantea lineare Equazione diofantea quadratica Algoritmo di Euclide Massimo comun divisore

Collegamenti esterni

Calcolatrice online per l'identità di Bézout.

Categoria:Teoria dei numeri Bézout, identità di Bézout, Lemma di