Il modello atomico di Bohr, proposto dal fisico Niels Bohr nel 1913 e successivamente ampliato da Arnold Sommerfeld nel 1916, fu il primo modello atomico ad utilizzare la quantizzazione dell'energia.Essa fu introdotta in Fisica da Max Planck nel 1900 per la spiegazione teorica della radiazione del corpo nero e quindi utilizzata da Albert Einstein nel 1905 per la comprensione dell'effetto fotoelettrico, dando avvio alla teoria dei quanti che precedette la formulazione della meccanica quantistica. Proposto inizialmente solo per l'atomo d'idrogeno, riusciva a spiegarne le caratteristiche righe dello spettro di emissione teorizzando per l'unico elettrone orbite con valori discreti di energia.
Stato dell'arte prima di Bohr Spettroscopia atomica
All'inizio del XX secolo lo studio della spettroscopia era giunto a un buon livello. Erano noti infatti moltissimi spettri di emissione provenienti da vari atomi, caratterizzati da righe luminose discrete in una successione ben precisa. Mancava tuttavia un inquadramento teorico del fenomeno dell'emissione a righe da parte dei vari elementi chimici. Una prima sistematizzazione dei dati avvenne nel 1885 quando Johann Jakob Balmer, insegnante svizzero, fece notare come le lunghezze d'onda nella parte visibile all'occhio umano (intervallo compreso fra 380 e 750 nm) dello spettro dell'idrogeno potevano essere rappresentate con grande precisione da una formula empirica che le correlava a dei numeri interi:
dove λ lunghezza d'onda della luce emessa B limite di Balmer, pari a 3,6456 × 10-7 m o 364,56 nm o 3645,6 Å n = 2 m intero con m > n
L'insieme delle righe spettroscopiche ottenibili con la formula di Balmer prende il nome di serie di Balmer. Sostituendo m = 3 nella formula si ottiene la lunghezza d'onda della riga rossa (λ = 656 nm), per m = 4 della riga celeste (λ = 486 nm), per m = 5 della riga blu (λ = 434 nm) e per m = 6 della riga violetta (λ = 410 nm). Basandosi sulla sua formula, Balmer predisse per m = 7 l'esistenza di un'altra riga spettroscopica (λ = 397 nm). Venne poi a sapere che Ångström aveva in effetti da poco osservato tale riga.
Con le sostituzioni successive (m > 8) si ottengono lunghezze d'onda proprie dei raggi UV, non osservarvabili ad occhio nudo.
Nel 1889 il fisico svedese Johannes Rydberg generalizzò, con la formula di Rydberg, quella di Balmer per tutte le transizioni dell'idrogeno (non solo la serie di Balmer L (n = 2), parzialmente nello spettro visibile, ma anche la serie di Lyman K (n = 1) nell'ultravioletto e quelle di Paschen M (n = 3), Brackett N (n = 4), Pfund O (n = 5) e Humphreys P (n = 6) nell'infrarosso):
con λ lunghezza d'onda della radiazione emessa RH = 4/B costante di Rydberg dell'idrogeno, pari a circa (1,097 × 107) m-1 n ed m numeri interi positivi con m > n I due termini, la cui differenza dà una riga spettrale, rappresentano i livelli energetici atomici della transizione.
Per n = 2 si ritrova la serie di Balmer:
con m = 3, 4, 5, 6, 7...
Per i numeri quantici fisso ed variabile si trovano le diverse serie spettroscopiche dell'idrogeno: + Serie spettroscopiche dell'idrogeno Orbita Numero quantico Numero quantico Serie spettroscopica Lunghezza d'onda minima Lunghezza d'onda massima nm Riga K Lyman 91 nm 121 nm L Balmer 365 nm 656 nm M Paschen 820 nm 1.874 nm N Brackett 1.458 nm 4.051 nm O Pfund 2.278 nm 7.456 nm P Humphreys 3.281 nm 12.365 nm
La formula di Rydberg mostra che la lunghezza d'onda, la frequenza e quindi anche l'energia della radiazione elettromagnetica emessa dall'idrogeno sono quantizzate, cioè non continue. La ragione della quantizzazione delle righe spettrali e il motivo per cui tale formula empirica riproduce con grande accuratezza i numeri d'onda delle serie spettroscopiche dell'idrogeno non verranno compresi fino al 1913, anno in cui Niels Bohr pubblicherà il suo modello atomico quantizzato.
Primi modelli atomici
La scoperta nel 1897 dell'elettrone, prima particella subatomica isolata in laboratorio, da parte di J. J. Thomson segnò la fine dell'antico concetto di atomo (dal greco ἄτομος átomos: indivisibile) come struttura indivisibile e l'inizio di un periodo di ricerca di nuovi modelli, che includessero gli elettroni come componenti della struttura atomica. Prima di Bohr si era tentato di spiegare la struttura dell'atomo con modelli proposti da Perrin (1901); Thomson (1904); Nagaoka (1904); Rutherford (1911).
Nel 1901 Perrin aveva ipotizzato che l'atomo fosse un sistema solare in miniatura, in cui gli elettroni si muovono come pianeti attorno a uno o più nuclei carichi positivamente, nei quali è concentrata la quasi totalità della massa atomica. Joseph John Thomson, lo scopritore dell'elettrone, immaginò l'atomo come un corpo compatto (plumcake o panettone) con carica positiva diffusa, contenente al suo interno gli elettroni (canditi o uvette) con carica negativa. Questo modello si basava solo sulla presenza di forze elettrostatiche e non era in grado di spiegare come il sistema rimanesse in uno stato d'equilibrio. p.450. Nagaoka suppose invece che la carica positiva fosse concentrata in un'unica, grande e massiccia sfera centrale, il nucleo, circondata dagli elettroni disposti su anelli simili alle fasce del pianeta Saturno (da cui il nome di modello saturniano). La stabilità dell'atomo risultava anche in questo caso un problema irrisolto, che portò presto all'abbandono del modello saturniano.
Tra il 1908 e il 1913 Hans Wilhelm Geiger e Ernest Marsden, sotto la supervisione di Ernest Rutherford, realizzarono esperimenti importantissimi per la comprensione della struttura dell'atomo: bombardando una sottile lamina d'oro con particelle alfa notarono che, mentre la maggior parte di esse subiva deviazioni nulle o minime dalla traiettoria iniziale, una minima parte veniva deviata in misura considerevole o respinta dalla lamina. p.451. Nell'interpretare i dati sperimentali, Rutherford confermò nel 1911 l'esistenza di un nucleo atomico, anche se estremamente piccolo rispetto all'atomo stesso, circondato dalle cariche negative degli elettroni. Nonostante Rutherford non si fosse sbilanciato sull'eventuale moto degli elettroni, si prese a rappresentarli in orbita attorno al nucleo. Il modello atomico planetario così concepito soffriva però d'instabilità di natura elettromagnetica. L'elettrone infatti, nel suo moto accelerato intorno al nucleo, avrebbe dovuto irradiare energia elettromagnetica fino a ricadere sul nucleo stesso con un moto a spirale. Inoltre, a prescindere dall'irraggiamento, nel caso di atomi più pesanti con tanti elettroni in orbita, una qualsiasi perturbazione esterna sarebbe stata sufficiente ad alterare pesantemente la distribuzione degli stessi, resi instabili dalla forza elettrostatica repulsiva.
Fu Niels Bohr a risolvere, nel 1913, le difficoltà del modello di Rutherford, spiegando anche la struttura dello spettro atomico dell'idrogeno.
I tre postulati di Bohr
Bohr, che aveva lavorato con Rutherford a Manchester per cinque mesi nel 1912, propose nel 1913 un modello che, applicando al modello atomico planetario di Rutherford la quantizzazione dell'energia introdotta da Planck nel 1900, riusciva a giustificare lo spettro atomico dell'idrogeno.
Il modello atomico di Bohr era fondato su tre postulati, due dei quali non classici e imposti ad hoc come vincoli addizionali al modello planetario classico di Rutherford: pp.453-455. Gli elettroni si muovono attorno al nucleo su orbite circolari stazionarie, con energia definita e costante; Gli elettroni che si muovono su tali orbite non irraggiano e quindi non emettono energia in modo continuo (contrariamente a quanto previsto dall'elettromagnetismo classico); Un elettrone atomico irraggia energia soltanto quando passa (mediante un salto quantico discontinuo) da un'orbita stazionaria a un'altra. Deve passare ad un'orbita stazionaria più esterna nel caso di assorbimento di radiazione elettromagnetica, mentre salta ad una più interna nel caso di emissione.
Nell'ipotesi semplificativa che l'elettrone dell'atomo d'idrogeno si muova su un'orbita circolare (un caso particolare di orbita ellittica, con eccentricità ), il secondo postulato si traduce in una condizione di quantizzazione per il modulo del momento angolare dell'elettrone che ruota intorno al nucleo, che deve essere un multiplo intero della costante di Planck ridotta:
dove e sono la massa e la velocità dell'elettrone orbitale, il raggio dell'orbita, la costante di Planck ridotta ed il numero quantico principale Il valore del momento angolare orbitale previsto per la prima orbita risulterà sbagliato. Il valore sperimentalmente accertato è invece .
La condizione di quantizzazione di Bohr sarà ricavata in modo semplice nel 1924 da Louis de Broglie, a partire dall'ipotesi del dualismo onda-particella. Secondo de Broglie, sono stazionarie le orbite circolari (con circonferenza ) che corrispondono a multipli interi della lunghezza d'onda dell'elettrone:
Questa condizione significa che ad onde elettroniche stazionarie corrispondono orbite atomiche circolari e stazionarie.
Siccome la lunghezza d'onda di de Broglie associata all'elettrone è
per sostituzione nella formula precedente si ottiene
da cui
che coincide con la condizione di quantizzazione del modulo del momento angolare dell'elettrone.
Per il terzo postulato, l'elettrone effettua una transizione da un'orbita stazionaria a un'altra solamente quando avviene un assorbimento o un'emissione di radiazione elettromagnetica, ovvero d'energia.Oggi si considera l'interazione tra l'elettrone ed il campo elettromagnetico come dovuta allo scambio di un fotone o quanto di luce. Tuttavia Bohr nei suoi articoli non chiama in causa i quanti di luce di Einstein, dei quali sarà un deciso oppositore fino al 1924. La frequenza della radiazione è legata all'energia dei livelli atomici ed , ovvero all'energia del livello di partenza e di quello di arrivo dell'elettrone, dalla relazione:
dove ed sono le energie connesse alle orbite finale ed iniziale. È presente il modulo in quanto la frequenza è sempre un numero positivo, mentre può essere negativo, se l'elettrone emette radiazione di frequenza . L'energia che l'atomo scambia con il campo elettromagnetico soddisfa sia il principio della conservazione dell'energia, sia la relazione tra energia e frequenza introdotta da Planck.
Quantizzazione delle orbite e raggio di Bohr
Nel modello di Bohr l'energia potenziale di un elettrone a distanza dal nucleo è di tipo elettrostatico:
e la forza attrattiva coulombiana è di conseguenza
dove è la costante di Coulomb, il numero atomico del nucleo ed la carica dell'elettrone.
Uguagliando tale forza con quella centripeta:
si ricava la velocità dell'elettrone
Sostituendo la velocità nella formula della quantizzazione del momento angolare
si ottengono i raggi quantizzati delle orbite permesse dal modello atomico di Bohr: pp.455-456. p.377.
ove è la permittività elettrica del vuoto e
è il raggio di Bohr del livello fondamentale dell'atomo di idrogeno. In accordo con i valori CODATA del 2010, il raggio di Bohr vale m Å dove Å sta per Ångström. p.44
La formula derivata da Bohr per i raggi atomici risulta accurata solo per l'idrogeno, e in buon accordo coi dati sperimentali per gli atomi idrogenoidi (quelli con un solo elettrone nel guscioBohr aggiornò il suo modello atomico nel 1922, assumendo che a certi numeri di elettroni (2, 8 e 18, ad esempio) corrispondano "gusci chiusi" energeticamente stabili. più esterno). Fissato il nucleo a cui si fa riferimento, i raggi delle orbite elettroniche quantizzate dipendono solo dal valore del numero quantico principale .
+ Raggi ed energie delle orbite dell'atomo d'idrogeno Numero quantico Raggio dell'orbita Energia dell'orbita
Quantizzazione delle energie e formula di Rydberg
Quantizzazione delle energie orbitali