In matematica, il sistema di coordinate polari è un sistema di coordinate bidimensionale nel quale ogni punto del piano, tranne uno da escludere a priori, è identificato da un angolo e da una distanza da un punto fisso detto polo; il punto da escludere è proprio il polo stesso, per il quale non è possibile definire un angolo che lo identifichi secondo la definizione data per gli altri punti.

Il sistema di coordinate polari è utile specialmente nei casi in cui le relazioni tra due punti possono essere espresse più facilmente in termini di angoli e di distanza; nel più familiare sistema di coordinate cartesiane, o sistema di coordinate rettangolari, tale relazione può essere espressa solamente tramite le funzioni trigonometriche.

Siccome il sistema di coordinate è bidimensionale, ogni punto è determinato da due coordinate polari: la coordinata radiale e quella angolare. La prima, di solito identificata con la lettera , denota la distanza del punto da un punto fisso detto polo (equivalente all'origine del sistema cartesiano). La coordinata angolare, solitamente denotata con la lettera greca θ, è anche detta angolo azimutale ed identifica l'angolo che la semiretta a 0° deve spazzare in senso antiorario per andare a sovrapporsi a quella che congiunge il punto al polo.

Storia I concetti di angolo e raggio erano già utilizzati dai popoli antichi del I millennio a.C. L'astronomo greco Ipparco di Nicea (190-120 a.C.) costruì una tabella delle funzioni delle corde, che fornivano la lunghezza della corda sottesa da ogni angolo; esistono anche riferimenti all'utilizzo delle coordinate polari per stabilire le posizioni delle stelle.

Nel saggio Sulle Spirali, Archimede descrive la sua famosa spirale, una funzione il cui raggio dipende dall'angolo. L'opera dei greci, comunque, non si estese a un sistema di coordinate polari universalmente accettato.

Verso la metà del XVII secolo, Gregorio di San Vincenzo e Bonaventura Cavalieri introdussero, indipendentemente l'uno dall'altro, il concetto di coordinate polari. Il fiammingo Gregorio di San Vincenzo espose questo concetto nell'opera Opus geometricus del 1647, ma si ritiene che ne fosse a conoscenza dal 1625. Cavalieri pubblicò il suo lavoro nel 1635, ma nel 1653 fu stampata un'edizione più corretta. Cavalieri per primo utilizzò le coordinate polari per risolvere i problemi relativi al calcolo dell'area sottesa da una spirale di Archimede. Pascal, in seguito, utilizzò le coordinate polari per calcolare la lunghezza degli archi parabolici.

Nel Metodo per il calcolo differenziale (scritto nel 1671 e pubblicato nel 1736), Isaac Newton esaminò le trasformazioni che avvenivano tra le coordinate polari e quelle che sussistevano tra altri nove sistemi di coordinate.

Nel giornale Acta Eruditorum del 1691, Jacob Bernoulli utilizzò il sistema con un punto e una linea, che chiamò rispettivamente polo e asse polare. Le coordinate erano specificate dalla distanza dal polo e dall'angolo formato con l'asse polare; l'opera di Bernoulli si estese al calcolo del raggio di curvatura delle curve, espresse in queste coordinate.

Il termine coordinate polari è stato attribuito a Gregorio Fontana, e fu utilizzato dagli scrittori italiani del XVIII secolo. Alexis Clairaut fu il primo a pensare le coordinate polari in tre dimensioni, ed Eulero fu il primo a svilupparle effettivamente.

Individuazione dei punti in coordinate polari

Ogni punto del piano, ad eccezione del polo, può essere individuato tramite due valori univocamente determinati: la distanza dal polo e l’angolo , misurato in senso antiorario rispetto all’asse di riferimento e tale che . Queste due grandezze, chiamate rispettivamente coordinata radiale e coordinata angolare, costituiscono le coordinate polari del punto.

Ad esempio, le coordinate polari rappresentano un punto che si trova a una distanza di unità dal polo , lungo una direzione tale che la semiretta , che unisce il polo al punto , forma un angolo di con l’asse di riferimento. Poiché una circonferenza completa misura e rappresenta tutte le possibili direzioni, qualsiasi angolo maggiore o minore di può essere ricondotto a un angolo compreso tra e , individuando comunque la stessa direzione. I punti e rappresentano lo stesso punto nel piano polare, perché entrambi corrispondono all’angolo di a cui è stato aggiunto (o sottratto) un multiplo di . In generale, angoli che differiscono per multipli interi di individuano la stessa direzione, poiché rappresentano uno o più giri completi attorno al polo.

In generale, dato un punto i punti , con numero intero, coincideranno con nel piano polare.

Ne consegue che ogni singolo punto può essere indicato con un numero infinito di coppie di valori, ognuna delle quali è sfasata rispetto alle altre di un numero intero di angoli giri. Le coppie di valori con arbitrario, sono convenzionalmente utilizzate per rappresentare il polo, infatti ogni punto distante 0 dal polo coincide con il polo indifferentemente dal suo angolo.

In notazione polare, gli angoli sono generalmente definiti in gradi o radianti, utilizzando la convenzione per cui . In ambito nautico si adoperano maggiormente i gradi, al contrario le applicazioni fisiche (come in meccanica rotazionale) e quasi tutta la letteratura matematica sul calcolo prediligono la notazione degli angoli in radianti.

Conversione da coordinate polari a cartesiane e viceversa

Le due coordinate polari e possono essere convertite nelle coordinate cartesiane e utilizzando le formule delle funzioni trigonometriche seno e coseno:

mentre le due coordinate cartesiane e possono essere usate per determinare la coordinata polare applicando il teorema di Pitagora:

.

Per determinare invece la coordinata angolare , bisogna considerare i due seguenti casi. Se , allora può assumere qualunque valore reale. Se , allora per ottenere una rappresentazione univoca di , bisogna limitarsi a un intervallo di misura . Le scelte convenzionali in questo intervallo sono di solito o . Per ottenere il valore di nell'intervallo , possono essere utilizzate le seguenti formule (arctan è la funzione inversa della funzione trigonometrica tangente):

Per ottenere nell'intervallo , si usano invece le seguenti:

Un metodo alternativo di ricavare in termini di e è la seguente. Sfruttando un'identità trigonometrica

quindi

Il vantaggio di questo approccio è che vale questa unica formula per su tutto .

Moltissimi software (tra cui Microsoft Excel) e linguaggi di programmazione (tra cui Java) dispongono della funzione atan2 per passare dalle coordinate cartesiane a quelle polari.

Equazioni polari L'equazione che definisce una curva algebrica espressa in coordinate polari è conosciuta come equazione polare. In molti casi, tale equazione può essere semplicemente espressa definendo come funzione di . La curva risultante consiste quindi dei punti della funzione e può essere considerata come il grafico della funzione polare di .

Dall'equazione della funzione polare di si possono dedurre diverse forme di simmetria. Se , la curva sarà simmetrica rispetto all'asse orizzontale, mentre se sarà simmetrica rispetto a quello verticale, e se , costituirà una simmetria rotazionale di in senso antiorario.

A causa della natura circolare del sistema di coordinate polari, molte curve possono essere descritte da una equazione polare piuttosto semplice, mentre la loro espressione cartesiana sarebbe più complicata. Tra le curve più conosciute di questa specie ci sono la rodonea, la spirale di Archimede, la lemniscata, il limaçon, e la cardioide.

Circonferenza

L'equazione generale della circonferenza con centro in (0, φ) e raggio è

Questa formula può essere semplificata in vari modi, per adattarla a casi più specifici, come l'equazione

per una circonferenza con centro nel polo e raggio .

Retta Le rette radiali (che attraversano il polo) sono rappresentate dall'equazione

in cui φ è l'angolo formato dalla retta; cioè, φ = arctan  dove è l'inclinazione della retta nel sistema di coordinate cartesiane. La linea non radiale che attraversa la retta radiale θ = φ perpendicolarmente nel punto (0, φ) ha equazione

Rodonea

Una rodonea è una celebre curva matematica che appare come un fiore con petali, e che si può esprimere semplicemente con un'equazione polare, data da

o

Posto come numero intero, l'equazione produrrà con dispari una rodonea di tipo , con pari di tipo . Se è invece un numero irrazionale, la curva formerà un disco. È da notare che queste equazioni non definiscono il numero dei petali della rosa; la variabile rappresenta solamente la lunghezza dei petali.

Spirale di Archimede

La spirale di Archimede è una famosa spirale che fu scoperta da Archimede, e che può essere espressa semplicemente con una equazione polare, della forma

Modificando il parametro , la spirale ruoterà, mentre controlla la distanza tra i bracci, che per una data spirale è sempre costante. La spirale di Archimede presenta due bracci, uno per θ > 0 e l'altro per θ < 0, ed entrambi si congiungono nel polo. Prendendo l'immagine speculare di un braccio lungo la retta 90°/270°, i due bracci si sovrappongono. Questa curva è notevole anche per essere stata una delle prime curve, dopo le sezioni coniche, ad essere descritta in un trattato matematico, e per essere stata il primo esempio di una curva che è rappresentata dalle coordinate polari meglio che dalle cartesiane.

Sezioni coniche

Una sezione conica con un fuoco sul polo e l'altro coincidente con un altro punto dell'asse a 0° (in modo che l'asse maggiore della conica possa giacere sull'asse polare) è data dall'equazione

in cui e è l'eccentricità della curva e è la perpendicolare al semiasse maggiore della curva. Se e > 1, questa equazione definisce un'iperbole, se e = 1, definisce una parabola e se e < 1, definisce un'ellisse. Il caso particolare in cui e = 0, riduce l'ellisse a una circonferenza di raggio .

Numeri complessi

Ogni numero complesso può essere rappresentato come un punto del piano complesso, e può quindi essere espresso sia in coordinate cartesiane (chiamata forma rettangolare) o nelle coordinate polari del punto (chiamata forma polare). Il numero complesso si rappresenta in forma rettangolare come

in cui è l'unità immaginaria, o può alternativamente essere scritto in forma polare come

e da qui come

in cui è il numero di Nepero. Le due formule sono equivalenti per quanto stabilito dalla formula di Eulero. Per convertire la forma rettangolare a polare e viceversa, si possono applicare le formule sopra citate.

Per le operazioni di moltiplicazione, divisione e esponenziale di numeri complessi, è in generale più semplice operare con i numeri complessi espressi in forma polare, piuttosto che in forma rettangolare. Infatti, per le regole degli esponenziali:

Moltiplicazione:

Divisione:

Esponenziale (formula di De Moivre):

Traslazione in coordinate polari Sfruttando la forma polare di un numero complesso si può arrivare alla formula della traslazione in coordinate polari. Presi due punti nelle coordinate polari e , espressi con la formula di Eulero sono

Se consideriamo il punto come punto traslato e come origine del nuovo asse, sia poi il punto non traslato, allora la traslazione è

Il modulo del numero complesso è un numero reale positivo definito come

Considerando ora un'equazione polare

Per applicare una traslazione alla funzione possiamo sostituire con la formula sopra, quindi

E l'equazione diventa

Se è una funzione costante allora la traslazione rappresenta una circonferenza in quanto l'equazione