Un left-loop è una struttura algebrica usata in matematica.
Definizione Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto dotato di un'operazione binaria
tale che:
esiste un elemento , detto neutro, tale che per ogni ; l'equazione ha un'unica soluzione .
Costruzione di left-loop
Sezione di un gruppo Definizione Siano un gruppo ed un suo sottogruppo. Una sezione di relativamente ad è un'applicazione
dove è la famiglia delle classi laterali sinistre di modulo , tale che: è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre; .
Inoltre l'immagine della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di . Va osservato che la 1. è equivalente alla condizione
dove è la proiezione canonica del gruppo sul quoziente .
Teorema 1 Siano un gruppo, un sottogruppo di e una sezione di , allora è un left loop rispetto l'operazione
Dimostrazione
L'identità sta in poiché esso è un trasversale di , dunque basta far vedere che l'equazione sinistra
ha un'unica soluzione in
L'elemento è una soluzione di (1), poiché
Supponiamo che
per qualche , allora
Teorema 2 Siano un gruppo, un sottogruppo ed una sezione con . Il left-loop definito su rispetto l'operazione
è un loop se e solo se è trasversale sinistro per ogni spazio omogeneo , .
Categoria:Algebra nonassociativa Categoria:Strutture algebriche