Il teorema di Kronecker (o dei minori orlati o semplicemente degli orlati) è un teorema di algebra lineare che permette di calcolare il rango di una matrice.
In una matrice , considerata una sottomatrice quadrata di ordine con determinante diverso da zero, si definiscono orlati tutte le sottomatrici quadrate di ordine , ottenute aggiungendo una riga e una colonna di . Se tutti gli orlati hanno determinante nullo, allora .
Grazie a tale teorema non occorre controllare tutti i minori contenuti in una matrice, ma solo quelli che orlano un minore di ordine . Il nome è dovuto al matematico tedesco Leopold Kronecker.
Enunciato Sia , con interi positivi, una matrice a coefficienti nel campo e sia un minore di di ordine . Se e
per ogni , allora e è un sistema massimale di righe linearmente indipendenti di .
Applicando il teorema alla trasposta si ottiene che è un sistema massimale di colonne linearmente indipendenti.
Dimostrazione Si consideri . Poiché il minore è non nullo, la sottomatrice ha rango e il sistema di righe di è linearmente indipendente. Supponiamo . Fissata una qualsiasi riga di , per i minori orlati ottenuti mediante gli elementi con risulta
in quanto ciascuno di tali orlati è nullo per ipotesi se e , ed è nullo perché ha due righe o colonne uguali se o . Applicando il teorema di Laplace all'ultima colonna si ottengono le relazioni scalari:
Poiché gli orlati coincidono eccetto per l'ultima colonna, si definisca per . Dalle relazioni scalari si trae in forma vettoriale
e quindi, essendo , si ha
Per l'arbitrarietà di si ha che ogni altra riga di dipende linearmente da , dunque e l'asserto è provato.
Esempio La matrice
ha un minore di ordine non nullo
È sufficiente considerare gli orlati di , che sono solo due dei quattro minori di ordine di :
Essi risultano nulli, quindi .
Bibliografia
Enrico Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli, 2011, ISBN 978-8808064011.
Voci correlate Matrice Rango (algebra lineare) Minore (algebra lineare) Determinante
Kronecker