Due grandezze e si dicono fra loro commensurabili se esiste fra loro un sottomultiplo comune, ossia se esistono due opportuni numeri naturali e per i quali:

Il valore di queste frazioni è il sottomultiplo comune alle grandezze e . Di conseguenza quando due grandezze sono commensurabili è possibile esprimere la misura della prima grandezza rispetto alla seconda utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere

Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili quando non hanno alcun sottomultiplo comune, ovvero non esiste alcuna frazione in grado di esprimere il rapporto . Da ciò consegue che la misura della prima grandezza rispetto alla seconda non è un numero razionale, perché non è esprimibile sotto forma di frazione.

Esempio di grandezze non commensurabili

La coppia di grandezze incommensurabili più semplice e da più tempo conosciuta è certamente quella formata dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Per dimostrare che queste due grandezze sono incommensurabili, basta dimostrare che la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale. Prima di tutto stabiliamo qual è il valore dalla diagonale (che chiameremo ) rispetto al lato (che chiameremo ). Per farlo utilizziamo il teorema di Pitagora. Infatti dato un quadrato, sappiamo che:

da cui

allora

semplificando abbiamo che

abbiamo quindi trovato la misura di rispetto a . Ora è necessario dimostrare che il numero non è razionale. Per farlo utilizziamo una delle varie dimostrazioni dell'irrazionalità di radice di due.

L'incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato fu il primo caso nel quale l'incommensurabilità fu dimostrata. La dimostrazione, attribuita in genere a Ippaso di Metaponto, fu certamente effettuata all'interno della scuola pitagorica e causò una grave crisi delle concezioni matematiche dell'epoca.

Bibliografia Euclide, Elementi, libro X Morris Kline, Storia del pensiero matematico, vol I, capp. 3 e 4, Einaudi, 1999. ISBN 978-88-06-15417-2 Miklós Laczkovich, Conjecture and Proof, Cambridge University Press, 2001, pp. 3–5. ISBN 978-0-88385-722-9

Voci correlate Numeri irrazionali Quadrato (geometria) Grandezza fisica

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