Il teorema di Darboux è un teorema dell'analisi matematica che prende il nome da Jean Gaston Darboux. Esso afferma che tutte le funzioni che risultano dalla derivazione di altre funzioni presentano la proprietà del valore intermedio: l'immagine di un intervallo è ancora un intervallo.
È da notare che quando è differenziabile con derivata continua (cioè ) questo è implicitamente vero per il teorema dei valori intermedi, ma anche quando non è continua il teorema di Darboux pone forti limiti alle sue variazioni.
Teorema di Darboux
Sia una funzione continua a valori reali in , che sia derivabile in . Allora soddisfa la proprietà del valore intermedio: per ogni compreso tra e , esiste qualche in tale per cui .
Dimostrazione
Senza perdita di generalità si può supporre che . Sia , allora , quindi sostituendo, si ha , e si vuole trovare uno zero di .
Siccome è una funzione continua in , per il teorema di Weierstrass possiede un massimo in , ma questo massimo non può trovarsi in , poiché , quindi in un intorno destro di e in modo del tutto simile non può trovarsi in , poiché , quindi in un intorno sinistro di . Pertanto il massimo deve stare in un punto compreso in tale che per il teorema di Fermat sui punti stazionari, da cui la tesi.
Voci correlate Jean Gaston Darboux Teorema dei valori intermedi
Collegamenti esterni
Categoria:Funzioni reali di variabile reale Categoria:Calcolo differenziale Darboux