Il numero e fu introdotto nel 1683 da Jacob Bernoulli. Più di mezzo secolo dopo, Eulero, che fu uno studente di Johann Bernoulli (fratello minore di Jacob), dimostrò che è irrazionale; cioè, non può essere espresso come rapporto tra due interi.

Dimostrazione di Eulero Eulero scrisse la prima dimostrazione dell'irrazionalità di nel 1737 (ma il testo venne pubblicato solamente sette anni dopo). Il matematico svizzero calcolò la rappresentazione di come frazione continua semplice, che è

Poiché questa frazione continua è infinita mentre ogni numero razionale è rappresentato da una finita, è irrazionale. Per una breve dimostrazione della frazione continua di , vedere Cohn (2006). Poiché la frazione continua di non è periodica, questo dimostra anche che non è radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali; in particolare, è irrazionale.

Dimostrazione di Fourier La dimostrazione più conosciuta è quella di Joseph Fourier procedendo per assurdo, che si basa sull'identità

Si supponga che sia un numero razionale. Allora esistono e interi positivi tale che . Da notare che non può essere uguale a 1 dato che non è un intero. Si può dimostrare utilizzando la precedente identità che è strettamente compreso tra e :

Si definisca il numero

Se è razionale, allora è un intero, infatti sostituendo nella definizione di si ottiene

Il primo termine è un intero, e ogni frazione nella somma è in effetti anch'essa un intero poiché per ogni termine. Pertanto, è un intero.

Si dimostra ora che . Prima, per mostrare che è strettamente positivo, si inserisce la rappresentazione in serie di nella definizione di , da cui si ricava

poiché tutti i termini sono strettamente positivi.

Resta da dimostrare che . Per tutti i termini con si ha la stima superiore

Questa disuguaglianza è stretta per ogni . Cambiando l'indice della sommatoria in e utilizzando la formula della serie geometrica, si ottiene

Dal momento che non esistono degli interi strettamente compresi tra e , si è ottenuta una contraddizione e quindi deve essere irrazionale. Q.E.D.

Dimostrazioni alternative Si può ottenere un'altra dimostrazione da quella precedente notando che

e questa disuguaglianza è equivalente a . Questo è ovviamente impossibile, poiché e sono numeri naturali.

Un'altra dimostrazione ancoraApostol, T. (1974). Mathematical analysis (2nd ed., Addison-Wesley series in mathematics). Reading, Mass.: Addison-Wesley. deriva dal fatto che

Si definisca come segue:

Questo implica che per ogni intero

Si nota che è sempre un intero. Si assuma che sia razionale.

Quindi, dove sono coprimi e . È possibile scegliere propriamente in modo che sia un intero, cioè prendendo .

Perciò, con questa scelta, la differenza tra e dovrebbe essere un intero. Ma segue dalla disuguaglianza precedente che è impossibile. Quindi, è irrazionale. Questo significa che è irrazionale.

Generalizzazioni Nel 1840, Liouville pubblicò una dimostrazione dell'irrazionalità di seguita dalla dimostrazione che quest'ultimo non è neanche una radice di un polinomio di secondo grado a coefficienti razionali. Questo ultimo risultato implica che è irrazionale. Le sue dimostrazioni erano simili a quella di Fourier dell'irrazionalità di . Nel 1891, Hurwitz spiegò come è possibile dimostrare attraverso la stessa strategia che non è una radice di un polinomio di terzo grado a coefficienti razionali. In particolare, è irrazionale.

Più in generale, è irrazionale per ogni razionale diverso da zero..

Note

Voci correlate Definizioni della funzione esponenziale Dimostrazione della irrazionalità di π Teorema di Lindemann-Weierstrass

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