Il Liber abbaci, noto anche come Liber abaci, è un trattato di argomento matematico. Scritto in latino medievale nel 1202 dal matematico pisano Leonardo Fibonacci, che nel 1228 ne pubblicò una seconda stesura, ha svolto un ruolo fondamentale nella storia della matematica occidentale ed è ritenuto uno dei libri più importanti e fecondi del Medioevo.Giuseppe Germano, "New Editorial Perspectives on Fibonacci's Liber Abaci", in «Reti Medievali Rivista» 14/2, 2013, p. 157.
Il Liber abbaci è un ponderoso trattato di aritmetica e algebra con il quale, all'inizio del XIII secolo, Fibonacci ha introdotto in Europa il sistema numerico decimale indo-arabico e i principali metodi di calcolo a esso relativi. Il libro non tratta l'utilizzo dell'abaco, sicché il suo titolo può essere tradotto in Libro del calcolo: dato che abaco per i Greci, i Romani e i maestri d'abaco dei secoli precedenti era uno strumento di calcolo, secondo alcuni studiosi il titolo non sarebbe autoriale, per quanto non vi siano dubbi che il Fibonacci abbia in effetti riservato questa denominazione all'aritmetica-algebra applicativa in genereN. Ambrosetti, L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale, Milano, LED, 2008, p. 220: «L'opera è interessante fin dal titolo: come si vede, la parola abaco ha perso gradualmente, ma inesorabilmente il suo significato di strumento di calcolo per assumere quello di "aritmetica basata sull'uso delle figure indiane".».
Su questo trattato, per oltre tre secoli, si formeranno maestri e allievi della scuola toscanaE. Ulivi, Su Leonardo Fibonacci e sui maestri d’abaco pisani dei secoli XIII-XV, in «Bollettino di Storia delle Scienze Matematiche» 31/2, 2011, pp. 247-288.. L'equilibrio fra teoria e pratica era di fatto raggiunto. Fibonacci dice: «Ho dimostrato con prove certe quasi tutto quello che ho trattato»N. Ambrosetti, L'eredità arabo-islamica nelle scienze e nelle arti del calcolo dell'Europa medievale, Milano, LED, 2008, pp. 216-217..
Quando Fibonacci scrisse il trattato, in Europa gli scritti di matematica avanzata erano quasi del tutto inesistenti, a parte le traduzioni delle opere classiche (gli Elementi di Euclide, per esempioM. Folkerts, The development of mathematics in Medieval Europe: the Arabs, Euclid, Regiomontanus, Aldershot, Ashgate Variorum, 2006.), che però erano ancora molto poco diffuse, e i cosiddetti Algorismi, scritti di aritmetica latina che prendevano il nome dal matematico al-KhwarizmiSi tratta del Dixit Algorizmi, del Liber ysagogarum Alchorismi, del Liber Alchorismi de pratica arismetice e del Liber pulveris. Cfr. A. Allard, Le calcul indien (Algorismus). Histoire des textes, édition critique, traduction et commentaire des plus anciennes versions latines remaniées du XII siècle, Paris, Peeters, 1992.. Fibonacci compì un'operazione unica, diversa da quelle degli Arabi, se non per l'originalità certo per la mole.
La prima edizione a stampa del Liber abbaci è stata curata da Baldassarre Boncompagni Ludovisi nel 1857, che si basò su un manoscritto del XIV secolo recante al suo interno una versione databile al 1228.Si tratta del Codice Magliabechiano C. 1, 2616, realizzato nel XIV secolo ma filologicamente risalente alla versione del 1228: B. Boncompagni Ludovisi, Il Liber abbaci di Leonardo Pisano pubblicato secondo la lezione del codice Magliabechiano C. I. 2616, Badia Fiorentina, n° 73, in Id., Scritti di Leonardo Pisano, matematico del secolo decimoterzo, I, Roma, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, 1857.
Struttura Il trattato non ha precedenti in Europa ed è al livello di quelli esistenti nel mondo islamico e classico; è d'altronde evidente che Fibonacci trae molto dalle opere di matematici arabi quali al-Khwarizmi e Abu Kamil. È il trattato più noto e importante di Fibonacci, enorme (459 pagine nell'edizione in-quarto del Boncompagni), diviso in 15 capitoli:
La conoscenza delle nove figure indiane, e come con esse si scrivano tutti numeri; quali numeri si possano tenere in mano e come, e l'introduzione all'abaco. La moltiplicazione degli interi. L'addizione degli stessi. La sottrazione dei numeri minori dai maggiori. La divisione dei numeri interi per numeri interi. La moltiplicazione degli interi con le frazioni, e delle frazioni senza interi. La somma, la sottrazione e la divisione degli interi con le frazioni e la riduzione delle parti di numeri in parti singole. L'acquisto e la vendita delle merci e simili. I baratti delle merci, l'acquisto di monete e simili. Le società fatte tra consoci. La fusione delle monete e regole correlativeA. Saccocci, Le monete nel Liber Abaci di Fibonacci, in «Rivista Italiana di Numismatica e Scienze affini» 109, 2008, pp. 269-286; E. Caianiello, Des monnaies et des oiseaux dans l’oeuvre de Léonard de Pise, in «Revue Numismatique» 167, 2011, pp. 151-166.. La soluzione di questioni diverse, dette miscellanee. La regola della doppia falsa posizione, e come con essa si risolvano pressoché tutte le questioni miscellanee. Il calcolo delle radici quadrate e cubiche per moltiplicazione e divisione o da estrazione e il trattato dei binomi recisi e delle loro radici. Le regole delle proporzioni geometriche; e le questioni di algebra e almucabala.
L'opera può essere suddivisa in quattro partiQuesta ripartizione è stata proposta per la prima volta da E. Caianiello, La vita e l'opera di Leonardo Pisano, in E. Burattini et al., Per un’edizione critica del Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci, in Forme e modi delle lingue e dei testi tecnici antichi, a cura di R. Grisolia & G. Matino, Napoli, D'Auria, 2012, pp. 55-138: 59-85.. La prima, che comprende i primi sette capitoli, è un'introduzione all'algebra e ai nuovi numeri, non fa riferimenti alla vita reale ma presenta esempi sempre più complessi così da abituare il lettore ai nuovi numeriL. Ancora, Il Liber abaci di Leonardo Fibonacci tradotto in italiano. Parte prima, Ebook - Academia.edu. Seguono poi quattro capitoli che presentano molti problemi nella mercatura; qui il lettore mette alla prova le nuove conoscenze e capisce la superiorità dell'algoritmo indiano rispetto a quello romano. Il dodicesimo capitoloE. Giusti, The twelfth chapter of Fibonacci's «Liber Abaci» in its 1202 version, in «Bollettino delle Storie delle Scienze Matematiche» 27/1, 2017, pp. 9-216. è il più ampio, comprende problemi di matematica "divertente", uomini che trovano borse, conigli che si moltiplicano, divisione di cavalli, ecc. La terza parte (che coincide con il tredicesimo capitolo) tratta il metodo della doppia falsa posizione, uno dei metodi più potenti della matematica araba e medievale. L'ultima parte tratta questioni astratte, estrazione di radici, binomi recisi e proporzioni con la geometria. Vengono presentate le novem figure degli indiani e il signum 0, operazioni su interi e le frazioni, criteri di divisibilità, ricerca del massimo comune divisore e il minimo comune multiplo, regole di acquisto e di vendita, cambi monetari, regole del tre semplice e del tre composto, ecc. La parte algebrica è dedicata allo studio delle equazioni algebriche quadratiche secondo i metodi di al-Khwarizmi, Abu Kamil, al-KarajiR. Franci, Il Liber abaci di Leonardo Fibonacci 1202-2002, in «Bollettino dell’Unione Matematica Italiana» 8/2, 2002, pp. 293-328.. Fibonacci definisce tre termini primitivi dell'algebra - il termine noto (numerus), la radice quadrata (radix , il quadrato (census) - che gli serviranno per studiare le equazioni di primo e di secondo gradoB. Hughes, Fibonacci teacher of algebra: an analysis of chapter 15.3 of Liber abaci, in «Mediaeval Studies» 66, 2004, pp. 313-361., tratte dall'algebra di al-Khwarizmi, che introduce tramite le seguenti sei equazioni:
Studierà anche binomi e trinomi associati alle equazioni, l'algoritmo risolutivo e la sua relativa giustificazione geometrica e una novantina di problemi risolvibili con le conoscenze apprese nel libro. I nuovi algoritmi presentati da Fibonacci erano, per l'epoca, procedure di calcolo scritte in linguaggio colloquiale che intendevano facilitare la risoluzione dei problemi di calcolo evitando l'uso dell'abaco, fino ad allora insostituibile dato che si operava con il sistema numerico romano. La maggior parte dei metodi aveva inoltre fondamento teorico nel metodo principale delle proporzioni e negli altri algoritmi presentati negli Elementi di Euclide.
Fra i problemi trattati, 22 sono desunti da al-Khwarizmi e 53 da Abu Kamil. I quindici capitoli del libro contengono problemi di natura disparata. Il dodicesimo (dal titolo De Regulis Erractis) è quello più ricco e vario: tratta i numeri perfetti e il problema della coppia di conigli, quello per cui è diventato famoso: "Determinare quanti conigli si avranno alla fine dell'anno partendo da una coppia che sarà fertile a partire dal secondo mese"M. Livio, La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni, Milano, BUR, 2003..
Le fonti del Liber abbaci
La maggior parte degli studiosi concorda nel ritenere che il Fibonacci abbia avuto a disposizione una gran quantità di fonti latine, greche e arabe, e che le abbia utilizzate per scrivere il suo Liber abbaci. Alcune fonti possono essere identificate con una certa sicurezza: ad esempio, è comunemente accettata l'ipotesi che il Pisano abbia mutuato il sistema di notazione delle frazioni continue ascendente dalla scuola matematica del Maghreb.K. Devlin, I numeri magici di Fibonacci, Milano, BUR, 2016, p. 65; M. Moyon & M. Spiesser, L’arithmétique des fractions dans l’œuvre de Fibonacci: fondements & usages, in «Arch. Hist. Exact Sci.» (2015), pp. 391–427.
Naturalmente non è possibile stilare una lista completa di tutti i trattati in lingua latina, greca e araba che il Pisano potrebbe aver conosciuto: egli, infatti, quasi mai cita gli scritti di altri autori all'interno del suo Liber abbaci. Tuttavia, anche se il dibattito sulle fonti da lui utilizzate è ancora in corso, su alcuni punti gli studiosi tendono a essere d'accordo.
Quasi sicuramente il nostro matematico ha avuto a disposizione una copia del Kitab al-fusul fi al-hisab al-hindi (Libro di capitoli sull'aritmetica indiana) del matematico al-Uqlidisi, del X secolo.K. Devlin, I numeri magici di Fibonacci, Milano, BUR, 2016, p. 66. Inoltre è innegabile che egli abbia conosciuto l'opera aritmetica del matematico persiano al-Khwarizmi, vissuto nel IX secolo, che potrebbe aver letto nell'originale arabo.Purtroppo non ci sono pervenuti manoscritti arabi di questa opera, ma si conoscono soltanto alcuni rifacimenti, traduzioni e rielaborazioni in latino di XII secolo, che vanno sotto il nome di Algorismi e che sono stati editi da A. Allard, Le calcul indien (Algorismus). Histoire des textes, édition critique, traduction et commentaire des plus anciennes versions latines remaniées du XII siecle, Paris, Peeters, 1992.