Una quantità è soggetta a decadimento esponenziale se diminuisce a una velocità proporzionale al suo valore corrente. Equazione del decadimento esponenziale Data una quantità il cui valore è N(t) al tempo t, il decadimento esponenziale in funzione del tempo è espresso dall'equazione differenziale
dove λ è un numero detto costante di decadimento. La soluzione di questa equazione è: p. 5
dove è la quantità al tempo , e è la quantità iniziale, al tempo .
In alternativa si può scrivere
dove:
è detta costante di tempo ed è il tempo necessario a ridurre la quantità iniziale di circa il 63,21%.
L'equazione che descrive il decadimento esponenziale si può scrivere
integrando si ottiene
dove C è la costante di integrazione, e quindi
dove la sostituzione finale è ottenuta valutando l'equazione al tempo . Inoltre λ è l'autovalore dell'operatore differenziale con la relativa autofunzione. Il decadimento si misura in s−1.
Concetti derivati
Vita media Dato un insieme di elementi, il cui numero decresce col tempo fino a diventare nullo, la vita media è il valore atteso del tempo che un elemento resta nell'insieme prima di esserne rimosso.
Data la quantità di elementi
si ha:
con c costante di normalizzazione:
Si nota che il decadimento esponenziale è un multiplo della distribuzione esponenziale, che ha un valore atteso ben noto. Usando l'integrazione per parti:
Decadimento in più fasi Una quantità può decadere passando per due o più processi contemporaneamente, che in generale hanno differenti probabilità di verificarsi. Il valore di N è dato dalla somma dei possibili percorsi, e nel caso di due processi:
La soluzione è data nel paragrafo precedente, dove la somma dei è trattata come una nuova costante di decadimento totale .
Dal momento che :
Tempo di dimezzamento Un parametro caratteristico del decadimento esponenziale è il tempo di dimezzamento, definito come il tempo occorrente per ridurre la quantità del 50%. Esso è legato alla costante di tempo dalla formula:
La formula si ricava partendo dalla legge del decadimento radioattivo:
Definendo in tempo in cui il numero si dimezza, si pone:
Esplicitando si ottiene la formula del tempo di dimezzamento.
Nel caso di due processi si ha
dove è il tempo di dimezzamento del primo processo, e del secondo.
Nel caso di tre processi, infine:
Applicazioni nelle scienze naturali In un radionuclide che subisce un decadimento radioattivo con cui acquista un differente stato, il numero di atomi nello stato originale segue un decadimento esponenziale. Se un oggetto ad una temperatura è immerso in un mezzo a temperatura differente, il calo di temperatura segue un decadimento esponenziale. Nei circuiti RC la carica elettrica contenuta in un condensatore carico e posto su una resistenza decade esponenzialmente; in questo caso la costante di tempo è τ = R·C p. 188-190
Note
Voci correlate Funzione esponenziale
Collegamenti esterni
Categoria:Funzioni speciali