In statistica, lindice di correlazione di Pearson (anche detto coefficiente di correlazione lineare, coefficiente di correlazione di Pearson o coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson) tra due variabili statistiche è un indice che esprime un'eventuale relazione di linearità tra esse.
Secondo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ha un valore compreso tra e dove corrisponde alla perfetta correlazione lineare positiva, corrisponde a un'assenza di correlazione lineare e corrisponde alla perfetta correlazione lineare negativa. Fu sviluppato da Karl Pearson da un'idea introdotta da Francis Galton nel 1880; la formula matematica fu derivata e pubblicata da Auguste Bravais nel 1844. La denominazione del coefficiente è anche un esempio della legge di Stigler.
Definizione Date due variabili statistiche e , l'indice di correlazione di Pearson è definito come la loro covarianza divisa per il prodotto delle deviazioni standard delle due variabili:
dove è la covarianza tra e e sono le due deviazioni standard.
Il coefficiente assume sempre valori compresi tra e .
Correlazione e indipendenza Nella pratica si distinguono vari "tipi" di correlazione.
Se , le variabili e si dicono direttamente correlate, oppure correlate positivamente; se , le variabili e si dicono incorrelate; se , le variabili e si dicono inversamente correlate, oppure correlate negativamente.
Inoltre per la correlazione diretta (e analogamente per quella inversa) si distingue: se si ha correlazione debole; se si ha correlazione moderata; se si ha correlazione forte.
Se le due variabili sono indipendenti, allora l'indice di correlazione vale 0. Non vale la conclusione opposta: in altri termini, l'incorrelazione è condizione necessaria ma non sufficiente per l'indipendenza. Per esempio data la distribuzione X: -3 -2 -1 0 1 2 3 Y: 9 4 1 0 1 4 9 abbiamo che e non sono indipendenti in quanto legate dalla relazione , ma .
L'ipotesi di assenza di autocorrelazione è più restrittiva ed implica quella di indipendenza fra due variabili.
L'indice di correlazione vale in presenza di correlazione lineare positiva perfetta (cioè , con ), mentre vale in presenza di correlazione lineare negativa perfetta (cioè , con ).
Valori prossimi a (o ) possono essere misurati anche in presenza di relazioni non lineari. Per esempio, la seguente relazione quadratica: X: 1 2 3 4 Y: 1 4 9 16
produce un coefficiente .
Generalizzazione a più di due variabili Gli indici di correlazione di variabili possono essere presentati in una matrice di correlazione, che è una matrice quadrata di dimensione avente sia sulle righe che sulle colonne le variabili oggetto di studio. La matrice è simmetrica, cioè , e i coefficienti sulla diagonale valgono in quanto
Proprietà matematiche Un valore dell'indice di correlazione uguale a o corrisponde a punti che si trovano esattamente su una linea retta. Il coefficiente di correlazione di Pearson è simmetrico:
Una proprietà matematica caratteristica del coefficiente di correlazione di Pearson è che non varia rispetto ai cambiamenti singoli della posizione e della scala delle due variabili. Cioè, possiamo trasformare in e trasformare in dove e sono costanti reali con senza modificare il coefficiente di correlazione.
Esempio in R Utilizzando il linguaggio di programmazione R si vuole calcolare l'indice di correlazione di Pearson tra la variabile Fertility rate, total (births per woman) e la variabile GDP per capita (current US$) nel 2020 , fornite dalla Banca Mondiale qui : https://databank.worldbank.org/reports.aspx?source=world-development-indicators . Per fare questo si utilizza la funzione cor nel seguente modo :
library(dplyr)
World_Bank_Data <- read.csv("World_Bank_Data.csv")
df1 <- World_Bank_Data %>% filter(Series.Name=="Fertility rate, total (births per woman)") %>% select(Country.Name,X2020..YR2020.)
colnames(df1) <- "Numero di figli per donna"
df2 <- World_Bank_Data %>% filter(Series.Name=="GDP per capita (current US$)" ) %>% select(Country.Name,X2020..YR2020.)
colnames(df2) <- "Pil procapite"
df1 <- merge(df1,df2 , by="Country.Name")
df1$`Numero di figli per donna` <- as.numeric(df1$`Numero di figli per donna`) df1$`Pil procapite` <- as.numeric(df1$`Pil procapite`)
df1 <- df1[-which(is.na(df1$`Pil procapite`)),] df1 <- df1[-which(is.na(df1$`Numero di figli per donna`)),]
cor(df1$`Numero di figli per donna`,df1$`Pil procapite`,)
-0.4601806
Note
Bibliografia
Voci correlate Coefficiente di correlazione per ranghi di Spearman Coefficiente di correlazione per ranghi di Kendall Regressione lineare Correlazione (statistica) Karl Pearson Francis Galton, il primo a introdurre la lettera r (come abbreviazione di "regressione") anche se utilizzava un coefficiente diverso, in quanto normava usando lo scarto interquartile. Grzegorz Zielinski – statistico, noto per l’elaborazione di nuovi intervalli dell’indice di correlazione di Pearson applicati a diverse discipline mediche.
Collegamenti esterni
Categoria:Indici di correlazione Categoria:Analisi della varianza