In meccanica quantistica, il principio d'indeterminazione di HeisenbergHeisenberg utilizzò raramente il sostantivo «principio» [W. Heisenberg, 1930]. Le dizioni da lui più usate furono Ungenauikeitsrelationen (relazioni d'inesattezza), Unsicherheitrelationen (relazioni d'incertezza) e Unbestimmtheitsrelazionen (relazioni d'indeterminazione) [D. Lindley, 2008]. Solo nel 2013, 86 anni dopo l'articolo originale di Heisenberg del 1927, si è trovato il modo di ricavare le sue relazioni d'indeterminazione dai postulati della meccanica quantistica. È stato infatti dimostrato [P. Busch, P. Lahti, R. F. Werner, 2013] che per misure simultanee (sezione Altre disuguaglianze di Heisenberg) di posizione q e quantità di moto p deve valere la disuguaglianza
Anche se non si tratta quindi di un principio, per ragioni storiche si continua a indicarlo come tale. Traduzione inglese: Traduzione italiana di M. Ageno: Traduzione italiana di S. Frediani: stabilisce i limiti nella misurazioneSecondo l'interpretazione di Copenaghen della meccanica quantistica «una misurazione, in generale, non rivela un valore preesistente di una proprietà misurata. Al contrario, l’esito di una misura viene in essere attraverso l’atto di misura stesso, una manifestazione congiunta dello stato soggetto alla misurazione e dell’apparato misuratore» (David Nathaniel Mermin, 1993). Anche se successivamente prevalse la tesi che l'indeterminismo quantistico rifletta una caratteristica intrinseca della natura, ci furono occasioni, quali le lezioni tenute all'università di Chicago nel 1929, in cui Heisenberg sostenne che sia la nostra conoscenza del mondo microscopico a essere indeterminata: «Le relazioni di indeterminazione riguardano il grado di esattezza raggiungibile nella conoscenza dei valori assunti simultaneamente dalle diverse grandezze che intervengono nella teoria dei quanti...» (Werner Karl Heisenberg, 1930) dei valori di grandezze fisiche coniugateIn meccanica quantistica si dicono canonicamente coniugate o semplicemente coniugate due osservabili e associate agli operatori autoaggiunti e che non commutano
e il cui commutatore vale . Le osservabili coniugate sono un sottoinsieme proprio di quelle incompatibili (vedi Nota 4). o, nelle formulazioni più recenti e generali, incompatibiliIn meccanica quantistica si dicono incompatibili [D. J. Griffiths, 2005] due osservabili e associate agli operatori autoaggiunti e che non commutano fra loro: .D. J. Griffiths, Introduzione alla meccanica quantistica, C.E.A., Milano 2005, p. 118. in un sistema fisico.
Nella formulazione più nota, è espresso dalla relazione
fra il prodotto dell'incertezza (errore) sulla posizione () e dell'indeterminazione (disturbo) sulla quantità di moto () di una particella, dove è la costante di Planck ridotta. Ad esempio, una volta nota la posizione di una particella con una certa precisione o incertezza fissata diversa da zero, questa disuguaglianza implica che è possibile conoscere la sua quantità di moto solo con una indeterminazione non inferiore al limite ; limite che sarà tanto più grande quanto più piccola è l'incertezza , senza che sia possibile quindi misurare esattamente la quantità di moto e la corrispondente velocità della particella.
Enunciato nel 1927 da Werner Karl Heisenberg Traduzione italiana di G. Gembillo in Indeterminazione e realtà, Guida, Napoli 1991, ISBN 88-7835-101-6, pp.35-67. e successivamente confermato da innumerevoli esperimenti, rappresenta un concetto cardine della meccanica quantistica, che ha sancito una radicale rottura rispetto alle leggi della meccanica classica.
Introduzione
I postulati della meccanica quantistica, così come i dettagli del processo di misura, stabiliscono una serie di relazioni e disuguaglianze d'indeterminazione che possono essere correlate di volta in volta all'impossibilità di conoscere i dettagli di un sistema senza perturbarlo (indeterminazione di Heisenberg), all'indeterminazione intrinseca ai sistemi quantistici (disuguaglianza di Robertson) o all'impossibilità di determinare contemporaneamente nello stesso sistema il valore di due osservabili complementari (principio di complementarità di Bohr). Nel corso di decenni di ricerche si è appurato che a partire dai postulati della meccanica quantistica è possibile ricavare tali relazioni (sia nella formulazione originale di Heisenberg, sia in quelle successive), cioè dimostrare perché certe coppie di grandezze fisiche non siano misurabili contemporaneamente (complementarità di Bohr) o in successioneUna misura quantistica proiettiva (o di von Neumann) della posizione provoca il collasso della funzione d'onda che lascerà la particella in un autostato della posizione. Quindi una successiva misura del momento non potrà coincidere con un autovalore del momento e avere quindi incertezza nulla, ma sarà necessariamente affetta da un'indeterminazione . (indeterminazione di Heisenberg) con precisione arbitraria (e men che meno assoluta).
Poiché il principio d'indeterminazione esprime l'impossibilità di determinare con precisione a priori illimitata i valori di due variabili incompatibili, l'osservatore dovrà scegliere quale misura privilegiare e disporre gli strumenti di misura di conseguenza. Si noti che il principio d'indeterminazione non si applica a tutte le possibili coppie di osservabili. Ad esempio è sempre possibile, in linea di principio, misurare posizione e carica elettrica con precisione arbitraria. In maniera analoga, mentre il principio d'indeterminazione si applica alla misura di e della componente della quantità di moto lungo , questo non si applica alla misura di e di (dato che ). Infine, tale principio non pone invece vincoli alla misura di una singola grandezza (come ad esempio l'energia - vedi Sezione Relazioni d'indeterminazione energia/tempo), che può essere determinata con precisione arbitraria.
Il ruolo del principio d'indeterminazione nella fisica moderna e nei fondamenti della meccanica quantistica è stato oggetto di un lungo dibattito. In senso stretto, le relazioni d'indeterminazione sono ricavate come conseguenza dei postulati della meccanica quantistica, e non ne costituiscono quindi un principio. Secondo tale punto di vista, l'importanza della scoperta di Heisenberg è quindi principalmente storica, rilevante più che altro per aver messo in evidenza le proprietà di una teoria completamente diversa dalla fisica classica.«Vorrei mettere il principio di indeterminazione nel suo contesto storico: quando furono concepite per la prima volta le idee rivoluzionarie della fisica quantistica, si tentava di capirle in termini di idee antiquate (come ad esempio, la luce che si propaga in linee rette). Ma a un certo punto le vecchie idee cominciarono a fallire e quindi un avvertimento fu sviluppato per dire, in effetti, "Le vecchie idee non sono buone quando...". Se invece si rimuovono le vecchie idee e si usano invece le idee che sto spiegando in queste lezioni - aggiungere frecce [cammini] per tutti i modi in cui un evento può accadere - non c'è bisogno del principio di indeterminazione!» (Richard Phillips Feynman, 1985) Tuttavia, secondo una diversa visuale, nella sua forma più generale di indeterminismo quantico l'indeterminazione di Heisenberg resta un principio d'assoluta generalità che, al pari del principio di relatività, risulta fondamentale per la fisica moderna.
Relazioni d'indeterminazione di Heisenberg L'esperimento mentale col microscopio
Nell'articolo del 1927, la relazione d'indeterminazione posizione/quantità di moto viene ricavata, mediante l'esperimento mentale del microscopio, da leggi ottiche e dall'effetto Compton d'interazione tra un fotone energetico e un elettrone inizialmente fermo. Il fotone (verde) arriva da sinistra (asse ), urta l'elettrone (blu) che si muoverà e ne viene a sua volta deviato, entrando nel microscopio (fotone rosso) con una lunghezza d'onda maggiore di quella del fotone verde incidente (effetto Compton: ). La lente del microscopio ha un'accettanza angolare e la risoluzione ottica con cui il microscopio "vede" l'elettrone vale: . Il fotone entra nel microscopio con un angolo indeterminato, ma certamente compreso tra e (è questa l'unica informazione disponibile sulla direzione del fotone). La quantità di moto del fotone lungo l'asse è allora affetta da un'indeterminazione proporzionale a
in cui si è fatto uso della relazione di de Broglie . Per la conservazione della quantità di moto lungo l'asse , è anche l'indeterminazione del momento lineare dell'elettrone. Per l'elettrone deve quindi valere . Questa relazione, ancora semi-quantitativa, venne presto riformulata nei termini oggi noti:
utilizzando il limite inferiore calcolato da Kennard a partire dalle deviazioni standard e (vedi Disuguaglianza di Kennard).
La disuguaglianza posizione/quantità di moto impone che il prodotto delle due indeterminazioni ( e ) sia sempre maggiore o al più uguale ad un valore minimo. Tale relazione d'indeterminazione implica quindi che per una particella non sia possibile misurare in tempi successivi, e quindi conoscere, un definito valore della posizione e della quantità di moto con precisione assoluta, ovvero con indeterminazione nulla. Tanto più si tenta di ridurre l'indeterminazione su una variabile, tanto più aumenta quella sull'altra (relazione di proporzionalità inversa tra le due). In un libro divulgativo viene utilizzata la metafora del ladro sorpreso di notte mentre ruba. Se lo si illumina con una lampada, scappa per non farsi individuare, mentre se si resta al buio si seguiranno le sue azioni senza poterne conoscere l'identità.
In molti testi divulgativi e talvolta anche universitari viene affermato che l'indeterminazione di Heisenberg fa riferimento a misure simultanee. Heisenberg le cita nel sommario dell'articolo originale: «grandezze canonicamente coniugate possono essere determinate simultaneamente solo con una imprecisione caratteristica». Nel resto del suo lavoro non menziona mai misure o procedimenti simultanei,Ad esempio, l'esperimento mentale del microscopio ricorre all'effetto Compton, non a misure simultanee, per introdurre la relazione d'indeterminazione posizione/quantità di moto. Considerazioni analoghe valgono per gli altri esperimenti citati da Heisenberg: effetto Ramsauer, collisioni di Franck-Hertz, esperimento di Stern-Gerlach. ma si limita a parlare di grandezze fisiche e delle incertezze con cui possono essere conosciute. Fu invece Bohr ad introdurre l'impossibilità di misure simultanee, che però andrebbe riferita alla complementarità e non all'indeterminazione di Heisenberg: «Bohr ha criticato Heisenberg per il suo suggerimento che queste relazioni fossero dovute solo a cambi discontinui che avvengono durante il processo di misura e indicò che le incertezze nell'esperimento non emergevano esclusivamente dalla discontinuità (esistenza del quanto d'azione), ma anche dal fatto che posizione e momento dell'elettrone non possono essere simultaneamente definite nell'esperimento del microscopio ('aggiunta alle bozze' in Heisenberg), e che noi dobbiamo considerare sia la teoria corpuscolare sia la teoria ondulatoria.» In seguito lo stesso Heisenberg sostenne invece la simultaneità delle due misurazioni. Nelle lezioni tenute all'università di Chicago nel 1929 affermò che