In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.
Definizione Uno spazio topologico è paracompatto se ogni ricoprimento aperto di ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto di tale che: ( è raffinamento di ) Ogni è contenuto in un elemento di , ovvero tale che . ( è localmente finito) Ogni ammette un intorno che interseca solo un numero finito di elementi di .
In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che sia uno spazio di Hausdorff.
Esempi Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito. Gli aperti e i chiusi di sono paracompatti. Ogni varietà topologica è paracompatta. Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone). L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto. Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.
Proprietà Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné). Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto. Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey). L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.
Bibliografia
Voci correlate Partizione dell'unità Spazio compatto
Collegamenti esterni
Categoria:Topologia generale