In geometria frattale la dimensione frattale, spesso indicata con è una quantità che dà un'indicazione di quanto completo appare un frattale per riempire lo spazio. La definizione di dimensione frattale non è unica. Le più importanti sono la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Minkowski-Bouligand, la dimensione di Rényi e la dimensione packing. In pratica viene spesso usato il conteggio del numero di celle (box counting) per la sua semplice implementazione.
Definizioni
Un metodo per generare una struttura frattale è quello di moltiplicare un oggetto unitario ripetendolo più e più volte (figura 1). Un altro metodo, che è utilizzato in questa voce, è costruire la sottosuccessione di divisione della struttura originale (figura 2).
Se si prende un oggetto unitario con dimensione lineare 1 nella dimensione euclidea , e si riduce la sua dimensione lineare di un fattore in ogni direzione spaziale, esso utilizza oggetti simili per ricostruire l'oggetto originale (figura 1).
La dimensione frattale è quindi definita da:
(dove il logaritmo può essere di qualsiasi base) è ancora uguale alla sua dimensione topologica ed euclidea. Applicando l'equazione precedente alla struttura frattale, si può ottenere la dimensione frattale di tale struttura:
dove indica la similarità della struttura lineare che serve per ricoprire l'intera struttura.
Ad esempio, la dimensione frattale del triangolo di Sierpinski rappresentato in figura 2, è
Note
Voci correlate Dimensione di Hausdorff Dimensione di Minkowski-Bouligand Lista di frattali per dimensione di Hausdorff
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