L'algebra (dall'arabo الجبر, al-ǧabr, 'completamento'Voce algebra, in Enciclopedia della Matematica (2013), treccani.it.) è una branca della matematica che tratta lo studio di sistemi astratti noti come strutture algebriche e della manipolazione delle espressioni interne a quei sistemi. In particolare, gran parte dell'algebra moderna si concentra sullo studio dei sistemi numerici, le funzioni polinomiali, e strutture astratte come gruppi, campi, spazi vettoriali, e anelli. Risulta una generalizzazione dell'aritmetica che introduce variabili e operazioni algebriche diverse da quelle fondamentali quali l'addizione e la moltiplicazione tra numeri. L'algebra elementare è la forma principale di algebra insegnata nelle scuole. Essa studia espressioni matematiche che coinvolgono elementi letterali. In particolare studia le equazioni attraverso l'uso di variabili letterali per i valori incogniti con l'obiettivo di determinare per quali valori tali uguaglianze risultino vere. L'algebra lineare è un'ulteriore branca, che studia le equazione lineari e loro sistemi, con il fine di trovare quei valori che risolvono tutte le equazioni del sistema contemporaneamente. L'algebra moderna, tuttavia, predilige le strutture astratte e la loro capacità di raggruppare casi concreti che si comportano allo stesso modo. Ad esempio: i numeri interi e i polinomi a coefficienti razionali obbediscono a regole molto simili, poiché entrambi questi concetti sono riconducibili ai domini euclidei. Pertanto studiare le strutture estratte (come i domini euclidei) è vantaggioso in quanto permette di derivare teoremi generalizzabili a un numero elevato di oggetti matematici. L'algebra permette di risolvere problemi specifici e complessi (come nel caso dell'insolubilità dell'equazione quintica) ma si presta anche a un approccio astratto e generale, attraverso la classificazione delle strutture astratte (come è avvenuto nel caso dei gruppi semplici finiti). L'algebra ha varie applicazioni in ampie aree del sapere. Tra di esse figurano la teoria dei numeri, la geometria, e la fisica matematica.
Storia dell'algebra
Il termine algebra (dall'arabo الجبر, al-ǧabr che significa "unione", "connessione" o "completamento", ma anche "aggiustare" o "ricomporre") deriva dal libro del matematico persiano Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī, intitolato Al-kitāb al-muḫtaṣar fī ḥīsāb al-ǧabr wa l-muqābala ("Compendio sul calcolo per completamento e bilanciamento"), conosciuto anche nella forma breve Al-kitāb al-ǧabr wa l-muqābala, che tratta la risoluzione delle equazioni di primo e di secondo grado.
I primi rudimenti di algebra simbolica appaiono con Diofanto di Alessandria (III sec d.C. ca.), da cui gli altri attinsero.
Ci sono anche alcune testimonianze su problemi algebrici semplici dell'Antico Egitto, della Grecia arcaica e della Mesopotamia, di matematici che fecero uso di proprietà attinenti all'algebra elementare.
Algebra retorica Algebra totalmente priva di simboli, i passaggi sono descritti a parole, secondo la tradizione di Muḥammad ibn Mūsā al-Ḫwārizmī.
Algebra sincopata Algebra descrittiva, ma con notazioni simboliche, come quella usata dal greco Diofanto di Alessandria.
Algebra simbolica Algebra in cui i concetti sono rappresentati in simboli, utilizzata oggi in tutto il mondo è nata nell'antica India e poi sviluppata nel XVI secolo dai matematici europei.
Concetti dell'algebra Numeri
Un numero è un oggetto astratto, usato per misurare una quantità.
I numeri più utilizzati sono i numeri naturali :
sono i numeri usati per contare.
Aggiungendo a questi i numeri negativi, tramite il segno meno, si ottengono tutti i numeri interi :
Aggiungendo a questi le frazioni si ottengono tutti i numeri razionali :
Infine, i numeri reali contengono molti altri numeri che non possono essere espressi come frazioni, quali ad esempio:
Aggiungendo a questi un elemento , chiamato unità immaginaria, tale che , si ottengono i numeri complessi :
Ciascun insieme è incluso nel successivo. Ad esempio, il numero non è un numero naturale, ma è un numero intero: quindi è anche razionale, reale e complesso.
Operazioni
Con le operazioni aritmetiche di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione è possibile manipolare i numeri e scrivere espressioni del tipo
Lo stesso numero può essere scritto in modo diverso, ad esempio:
Costanti e variabili
L'algebra elementare è un'evoluzione dell'aritmetica: oltre ai numeri e alle quattro operazioni, in algebra si fa uso di simboli letterali che (a seconda del contesto) possono essere considerati numeri costanti o variabili. Ad esempio:
Usando simboli letterali è possibile enunciare dei teoremi che sono validi in contesti molto generali. Ad esempio, il quadrato del binomio
è un'uguaglianza valida per qualsiasi valore di e .
Equazioni
Un'equazione è un'uguaglianza che può contenere alcune variabili, dette incognite. L'equazione è verificata solo per alcuni valori delle incognite, detti soluzioni. Determinare le soluzioni di un'equazione è un problema centrale in algebra. Ad esempio, nell'equazione di primo grado
la lettera è una costante, mentre è l'incognita da determinare. Questa equazione ha una sola soluzione; data da
Polinomi
Un polinomio è un'espressione algebrica ottenuta manipolando alcune costanti e variabili con le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione (ma non la divisione). Ad esempio:
è un polinomio con variabile . Un polinomio può avere più di una variabile, ad esempio
ha tre variabili .
Una radice di un polinomio con una sola variabile è un valore numerico per cui vale
Determinare le radici di un polinomio equivale quindi a risolvere un'equazione, in cui il polinomio viene posto uguale a zero. Esistono delle formule generali per determinare le radici di un polinomio di grado 1, 2, 3 o 4. Ad esempio, un polinomio di secondo grado
può avere al massimo due radici reali, determinate dalla formula
Se l'argomento del radicale è negativo, il polinomio non ha radici reali. Per il teorema di Abel-Ruffini, non esistono formule risolutive generali per equazioni di grado maggiore o uguale a 5.
Un polinomio può non avere radici reali. Il teorema fondamentale dell'algebra asserisce però che ne esiste sempre (almeno) una radice complessa.
Numeri algebrici e trascendenti
Un numero reale (o complesso) è algebrico se è radice di un polinomio a coefficienti interi. Ad esempio, ogni numero razionale è algebrico, perché radice del polinomio
che ha coefficienti e interi. La radice -esima reale di un intero è anch'esso un numero algebrico, radice del polinomio
Più in generale, tutti i numeri ottenibili a partire dagli interi usando le quattro operazioni ed i radicali sono algebrici. Ad esempio:
è un numero algebrico. Esistono però algebrici non scrivibili in questa forma, per il teorema di Abel-Ruffini. Fra i numeri complessi, l'unità immaginaria è algebrica perché radice del polinomio .
Un numero reale (o complesso) è trascendente se non è algebrico. I numeri pi greco e la costante di Nepero sono trascendenti.
Strutture algebriche
Una struttura algebrica è un insieme dotato di una o più operazioni che soddisfano determinati assiomi. Sulla base di questi assiomi è quindi possibile dimostrare vari teoremi che risultano validi in contesti molto generali. Le strutture algebriche hanno un ruolo centrale nell'algebra astratta e in tutta la matematica moderna.
Gruppi
Un gruppo è un insieme dotato di un'operazione binaria, che può essere indicata con il simbolo , che soddisfa gli assiomi seguenti.
proprietà associativa: dati appartenenti a , vale . esistenza dell'elemento neutro: esiste in un elemento neutro rispetto all'operazione *, cioè tale che per ogni appartenente a . esistenza dell'inverso: ad ogni elemento di è associato un elemento , detto inverso di , tale che . Ad esempio, i numeri interi formano un gruppo con l'operazione di addizione. L'insieme e l'operazione sono entrambi importanti nella struttura di gruppo: per identificare il gruppo degli interi con l'addizione si scrive la coppia
Anelli e campi
Un anello è un insieme dotato di due operazioni binarie, generalmente indicate con gli usuali simboli e dell'addizione e della moltiplicazione, che soddisfa alcuni assiomi. L'operazione deve soddisfare gli assiomi di gruppo già elencati; inoltre devono valere proprietà commutativa: dati appartenenti ad , vale . proprietà associativa per l'operazione : dati appartenenti ad , vale . proprietà distributiva: dati appartenenti ad , vale e .
Ad esempio, i numeri interi formano un anello con le usuali operazioni di addizione e moltiplicazione, e si scrive:
L'elemento neutro per l'operazione viene solitamente indicato con il simbolo .
Un campo è un anello che soddisfa alcuni assiomi aggiuntivi per l'operazione , e cioè: proprietà commutativa: dati appartenenti ad , vale . esistenza dell'elemento neutro: esiste in un elemento neutro rispetto all'operazione , cioè tale che per ogni appartenente a . esistenza dell'inverso: ad ogni elemento di è associato un elemento , detto inverso di , tale che .
I numeri interi non formano un campo perché 2 non ha un inverso rispetto al prodotto. I numeri razionali formano un campo e si scrive:
Altri campi importanti sono i numeri reali ed i numeri complessi .
Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una struttura algebrica lievemente più complessa. Formalmente, consiste di una quaterna
in cui è un insieme di oggetti detti vettori, un campo, e due operazioni binarie che soddisfano una lunga lista di assiomi. Come i vettori del piano cartesiano, i vettori di possono essere sommati e riscalati, cioè moltiplicati per un elemento del campo detto scalare. La nozione di spazio vettoriale è centrale in tutta la matematica moderna.
Settori dell'algebra Algebra elementare
L'algebra elementare può essere introdotta come generalizzazione ed estensione dell'aritmetica, tramite l'introduzione di oggetti simbolici, chiamati variabili e costanti, denotati solitamente con lettere dell'alfabeto.
Alle espressioni costruite con l'uso delle variabili e delle costanti, si applicano le operazioni aritmetiche di addizione, differenza (più generalmente, somma algebrica), moltiplicazione e divisione. In questo modo vengono introdotti e studiati oggetti come i polinomi e le equazioni, e studiati i metodi per trovarne le eventuali radici dei primi e soluzioni delle seconde.
Algebra astratta
L'algebra astratta è un'estensione dell'algebra elementare, nata verso la fine del XIX secolo e sviluppatasi enormemente nel XX secolo. L'algebra astratta definisce e studia le strutture algebriche: insiemi muniti di operazioni che soddisfano determinati assiomi. Esempi molto particolari di strutture algebriche sono costituiti dagli usuali insiemi numerici, quali i numeri interi, i razionali, i reali e i complessi con le loro ordinarie operazioni di somma o prodotto, o anche con una sola di queste operazioni.
Esempi di strutture algebriche sono i gruppi, gli anelli, i campi e gli spazi vettoriali. Le operazioni di cui sono dotate queste strutture soddisfano leggi molto simili a quelle valide negli esempi numerici menzionati sopra. Esempi di strutture le cui operazioni soddisfano altre leggi, a volte apparentemente controintuitive, sono i reticoli, l'algebra di Boole e le algebre di Lie.
Algebra lineare
L'algebra lineare studia le matrici e gli spazi vettoriali. Uno spazio vettoriale è una generalizzazione astratta della nozione dell'insieme dei vettori del piano (o dello spazio) in senso fisico. Uno dei suoi principali vantaggi è la possibilità di introdurre spazi di qualunque dimensione (anche infinita). Viene applicata anche per studiare le equazioni lineari, cioè le equazioni omogenee di primo grado. Le applicazioni dell'algebra lineare sono di importanza fondamentale in fisica, in molte branche (anche non algebriche) della matematica e in altre discipline scientifiche.
Teoria dei gruppi