In matematica, il teorema di Kakutani è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Brouwer alle funzioni a più valori. Il teorema venne provato da Shizuo Kakutani, da cui prende il nome, nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua prova di esistenza di un equilibrio di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.
Introduzione Un'applicazione a più valori da un insieme a un insieme è una legge che associa uno o più elementi di ad ogni punto di . Formalmente si può rappresentare come una funzione da all'insieme delle parti di , e scritta come .
Dati due spazi metrici ed , un'applicazione a più valori si dice "chiusa" se per ogni successione con , e , si ha .
Analogamente al caso delle funzioni tradizionali, per una funzione a più valori il punto è un punto fisso di se .
Enunciato Sia dato uno spazio euclideo di dimensione finita, e sia un sottoinsieme di compatto, convesso e non vuoto. Sia un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà: è chiusa; per ogni , è un sottoinsieme convesso non vuoto di .
Allora ammette almeno un punto fisso in .
Esempi Sia una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso che fa corrispondere al punto l'intervallo chiuso . Allora soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.
La funzione multivoca che ad ogni fa corrispondere il singleton e ad ogni in fa corrispondere il singleton , soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Kakutani, tranne quella di avere immagini convesse. Tale non ha punti fissi.
Bibliografia
Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.
Voci correlate Funzione polidroma Punto fisso Teorema del punto fisso di Brouwer Teorema del punto fisso di Schauder Teorema di Ryll-Nardzewski Teoremi di punto fisso
Collegamenti esterni Nash, Berge, Kakutani dimostrazione del teorema di esistenza dell'equilibrio di Nash e preliminari (file pdf, 18 pagg.)
Kakutani