In matematica, e in particolare in analisi complessa, il lemma di Schwarz descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Il lemma, che prende il nome da Hermann Amandus Schwarz, è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il teorema della mappa di Riemann. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzioni olomorfe, che non trova analogie nel comportamento delle funzioni reali.
Enunciato
Sia il disco aperto unitario nel piano complesso e sia una funzione olomorfa che fissa l'origine, cioè . Allora valgono le seguenti relazioni:
Inoltre, se esiste tale che
oppure
allora è una rotazione nel piano complesso:
Dimostrazione La dimostrazione sfrutta essenzialmente il teorema del massimo modulo, applicandolo alla funzione
che risulta essere analitica nel disco unitario. Considerando un arbitrario disco chiuso interno al disco unitario aperto
e applicando il teorema del massimo modulo si ha che per interno al e sulla frontiera vale
Dovendo questo valere per arbitrariamente vicino a , risulta che è la prima parte della tesi.
Se valesse poi oppure in un punto allora la assumerebbe massimo all'interno del disco, cioè sarebbe una costante di modulo . Quindi cioè che è la tesi.
Estensioni del teorema
Il teorema di Schwarz-Pick asserisce che, data una funzione olomorfa , valgono le seguenti relazioni (con ):
Usando la metrica di Poincaré, definita dalla funzione:
la funzione risulta essere una funzione contrattiva, in quanto accorcia le distanze tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).
Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora è un automorfismo analitico, espresso tramite una trasformazione di Möbius.
Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del teorema di de Branges.
Bibliografia
Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces. New York, Springer-Verlag, 2002 ISBN 3-540-43299-X S. Dineen, The Schwarz Lemma. Oxford University Press, 1989 ISBN 0-19-853571-6
Voci correlate Funzione contrattiva
Collegamenti esterni
Categoria:Analisi complessa Schwarz, Lemma di