Il continuo di Cauchy è il modello di corpo continuo definito nella prima metà dell''800 dal famoso matematico Augustin-Louis Cauchy. Esso è il modello di corpo continuo (solido e fluido) più importante tanto che spesso meccanica del continuo è sinonimo di meccanica del continuo di Cauchy. Tale modello riveste un ruolo cruciale in Meccanica dei solidi ed in Scienza delle costruzioni, improntandone sui suoi termini gran parte del linguaggio, e dove viene utilizzato sia direttamente che per ottenere modelli strutturali ancora più semplificati: continui bidimensionali (piastre, lastre, gusci, ecc), continui monodimensionali (travi), modelli discreti. Esso plasma, infine, lo studio della meccanica dei fluidi e dell'idraulica.
Introduzione
Seguendo i canoni rigorosi della Meccanica del continuo, lo studio del modello di corpo continuo di Cauchy si articola nel seguito in tre fasi distinte: la sua caratterizzazione cinematica, con la scrittura di precise relazioni (di congruenza cinematica) tra i diversi descrittori cinematici interni (della deformazione) ed esterni (gli spostamenti e i cambiamenti di configurazione). la scrittura delle relazioni generali di bilancio, che racchiudono le leggi fisiche cui il corpo deve sottostare durante il suo moto, a prescindere dal materiale di cui è costituito; lo studio delle relazioni costitutive che, caratterizzando il comportamento del particolare materiale costituente il corpo, differenziano una classe di corpi continui da un'altra.
Tali relazioni meccaniche prescindono dal particolare sistema di coordinate in cui vengono osservate: nel seguito esse sono pertanto convenientemente esposte facendo uso dei tensori, oggetti matematici indipendenti dal sistema di coordinate.
Cinematica
La meccanica del continuo studia le condizioni di moto e di equilibrio di oggetti naturali identificabili come corpi continui. In particolare la cinematica analizza il moto e la deformazione di un corpo continuo prescindendo dalle cause che lo determinano. A tal fine è essenziale introdurre la nozione di corpo continuo e di moto. In Meccanica tali nozioni sono assunte come concetti primitivi, cioè si rinuncia a darne di essi una definizione in termini di altre quantità note. Per converso, quando del corpo continuo e del suo moto si cerca di costruire un modello matematico, si devono definire con estrema precisione gli enti matematici che li descrivono.
Configurazione e moto Un sistema materiale potrà riguardarsi come continuo (secondo Cauchy) se è possibile identificare i suoi elementi P (le particelle o punti materiali del sistema) con i punti geometrici di una regione regolare dello spazio tridimensionale euclideo (lo spazio fisico). Tale regione è detta configurazione del corpo. Sottoregioni limitate e regolari di , per le quali assume validità il teorema della divergenza, sono dette parti del corpo. È spesso utile scegliere una particolare configurazione ed identificare ogni punto materiale del corpo con la sua posizione in tale configurazione, che sarà detta configurazione di riferimento.
In una diversa configurazione del corpo, un generico punto materiale occupa una posizione diversa . In termini matematici, la nuova configurazione è descritta dalla funzione vettoriale (detta anche trasporto)
che lega le diverse posizioni (nella configurazione di riferimento e nella nuova configurazione) dei punti del corpo, tale che la nuova configurazione risulti l'immagine secondo della configurazione di riferimento.
È chiaro che per poter rappresentare una variazione di configurazione l'applicazione deve possedere proprietà matematiche adatte a tradurre alcuni fondamentali requisiti di plausibilità fisica. Occorre infatti che i punti materiali conservino la loro individualità, senza lacerazioni o compenetrazioni di materia di cui il corpo è costituito, cioè che: ad un punto della configurazione di riferimento corrisponda uno ed un sol punto nella nuova configurazione (e viceversa) a punti arbitrariamente vicini nella configurazione di riferimento, corrispondano punti arbitrariamente vicini nella nuova configurazione (e viceversa).
Dal punto di vista matematico, questi requisiti si traducono in precise restrizioni sulla applicazione : l'applicazione deve essere biunivoca, cioè deve esistere una funzione inversa tale da realizzare una corrispondenza biunivoca tra i punti della configurazione di riferimento e quelli della nuova configurazione
l'applicazione , assieme alla sua inversa , deve essere continua.
Si richiede inoltre che la funzione sia sufficientemente regolare, cioè sia differenziabile con continuità fino all'ordine necessario a dare senso alle manipolazioni matematiche che occorrerà eseguire. In particolare, esistono e sono funzioni continue le derivate parziali di ed esiste il gradiente della deformazione , un tensore del secondo ordine non singolare (come conseguenza della proprietà di invertibilità dell'applicazione ) e con determinante (lo jacobiano di ) positivo.
Un cambiamento di configurazione è il risultato di uno spostamento del corpo. Il moto di un corpo è una sequenza continua di spostamenti che portano il corpo ad occupare diverse configurazioni al variare dell'istante di tempo t. Esso è pertanto descritto da una applicazione del tipo
che si assume sufficientemente regolare rispetto al parametro temporale. In un moto del corpo la configurazione da esso occupato al tempo t=0 è detta configurazione iniziale: essa spesso si identifica con la configurazione di riferimento . È detta configurazione corrente la configurazione occupata al generico istante t.
Quantità derivate dal concetto di moto (quindi quantità non primitive) sono i campi vettoriali di velocità e di accelerazione
che fanno uso del concetto di derivata materiale (in questo caso coincidente con la derivata parziale rispetto al parametro temporale) e danno una misura rispettivamente della variazione di posizione e di velocità del generico punto materiale al generico istante di tempo t.
Descrizione lagrangiana e descrizione euleriana Nella rappresentazione data del moto e dei due campi vettoriali derivati della velocità e dell'accelerazione, il generico punto materiale è identificato con la sua posizione nella configurazione di riferimento . Tale rappresentazione può essere estesa a qualunque altro campo (scalare, vettoriale, etc) assegnato o derivato sui punti del corpo: si parla di descrizione materiale o lagrangiana del moto. Una diversa descrizione è possibile osservando che un punto materiale può anche essere rappresentato con la sua posizione nella configurazione corrente . La relativa rappresentazione dei campi vettoriali di velocità ed accelerazione
è detta descrizione spaziale o euleriana e può essere estesa a qualunque altro campo coinvolto nella descrizione del moto. In pratica, la descrizione euleriana del moto è focalizzata sulla configurazione corrente , ponendo attenzione su ciò che accade ad un determinato punto dello spazio al variare del tempo, invece di seguire le singole particelle nel loro moto attraverso lo spazio ed il tempo. Tale tipo di descrizione, introdotta da d'Alembert, assume particolare importanza in meccanica dei fluidi, dove l'uso di una specifica configurazione di riferimento ha poco significato in quanto i fluidi non posseggono una naturale geometria. Come si vedrà, essa è la descrizione più naturale da utilizzare nella scrittura delle equazioni di bilancio, in quanto queste vanno imposte nella configurazione attuale del corpo.
In una descrizione euleriana del moto, la derivata materiale di un generico campo non coincide più con la derivata parziale rispetto al parametro temporale, ma la sua espressione va costruita mediante la regola della catena. Nel caso dell'accelerazione risulta pertanto valida la relazione:
Deformazione
L'analisi della deformazione consiste nello studio della applicazione che porta il corpo dalla configurazione iniziale indeformata alla configurazione attuale deformata o, il che è lo stesso, nello studio dello spostamento prodotto misurato dal campo vettoriale così definito:
In particolare è importante studiare la deformazione di un intorno di un generico punto materiale, cioè di una piccola porzione del corpo prossima al punto considerato. Al tal fine un concetto derivato (dal concetto di configurazione e trasporto) molto utile è il gradiente della deformazione
con riferimento al gradiente del campo
Il gradiente della deformazione è una misura della deformazione di un intorno di un generico punto in quanto, per definizione di gradiente, permette di approssimare il trasporto dei punti appartenenti all'intorno del punto mediante la
ovvero di rappresentare la trasformazione subita da un segmento orientato appartenente all'intorno dalla configurazione indeformata alla configurazione deformata
Esso inoltre permette di rappresentare sia la trasformazione subita da un elemento orientato di superficie (di area e orientazione normale nella configurazione indeformata, di area e orientazione nella configurazione deformata) attraverso la formula di Nanson
sia di relazionare la misura di un elemento di volume infinitesimo ( nella configurazione indeformata, nella configurazione deformata)
In generale, uno spostamento generico di un corpo include sia un'aliquota di spostamento rigido che un'aliquota di deformazione pura del corpo, con variazione di forma o di dimensioni (o entrambe). In particolare la trasformazione di un intorno di un punto descritta dal tensore è data dalla composizione di una rotazione rigida dell'intorno con una deformazione pura di questo. Il teorema di decomposizione polare permette di valutare entrambi i contributi, assicurando che esistono solo due decomposizioni del tensore
dove è un tensore ortogonale descrittore della rotazione ed sono tensori simmetrici e definiti positivi rappresentativi della deformazione pura subita, detti rispettivamente tensore destro e tensore sinistro della deformazione.
Una descrizione obiettiva della deformazione pura deve necessariamente essere indipendente dalla rotazione rigida, e quindi dal tensore e funzioni dei soli tensori o . Possibili misure tensoriali lagrangiane della deformazione sono espresse nella forma
dove n è un numero reale (non necessariamente un intero): per n=1 ed n=2 si parla rispettivamente di tensore di Biot e di tensore di Green.
Il tensore di Green è un tensore simmetrico così definito in termini del gradiente della deformazione e del gradiente dello spostamento
Esso è una misura della deformazione in quanto è nullo in presenza di spostamenti rigidi. Esso ha un forte interesse tecnico in quanto di facile determinazione in termini del gradiente della deformazione o dello spostamento e in quanto permette una semplice rappresentazione delle misure locali di deformazione pura (dilatazioni, variazioni di volume, ecc.)
Il tensore della deformazioni di Biot è un tensore simmetrico definito mediante
La determinazione del tensore di Biot è meno agevole del tensore di Green. Sussiste la seguente relazione (nonlineare) tra i tensori della deformazione di Green e di Biot
Tale relazione può così essere riportata in uno sviluppo in serie di Taylor
Per deformazioni piccolissime le due misure tensoriali praticamente coincidono
Nell'ambito della teoria dei piccoli spostamenti assume un ruolo fondamentale nella descrizione della deformazione il tensore della deformazione infinitesima (la parte simmetrica del gradiente del campo di spostamenti)
e vale
Equazioni di bilancio