In matematica, una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito. Questo vuol dire che, data una successione , la serie è convergente se la successione delle somme parziali

ha un limite finito, cioè se esiste finito tale che per ogni esiste tale che per ogni

Il numero è detto somma della serie: spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare; le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente, ad esempio la serie non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori e e quindi non ammette limite.

Esempi Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro : ad esempio

Anche la somma dei reciproci dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso problema di Basilea):

Mediante lo sviluppo in serie di Taylor è possibile mostrare che

Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei numeri primi (dimostrazione):

dove indica l'insieme dei numeri primi.

Assoluta convergenza Una serie è detta assolutamente convergente se converge la serie dei valori assoluti, cioè se la serie

converge.

Si dimostra facilmente che una serie assolutamente convergente è convergente: infatti, se si definiscono due nuove successioni

risulta evidente che le loro serie e sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di . Quindi la loro differenza è anch'essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché

Il viceversa non è vero: la serie

converge a , ma la serie dei valori assoluti

è la serie armonica, che diverge.

Criteri di convergenza

Per stabilire se una serie converge o meno è possibile usare dei criteri di convergenza, che consentono spesso di stabilire velocemente il carattere di una serie (specialmente se è a termini positivi, cioè se per ogni sufficientemente grande) senza tuttavia permettere di calcolarne effettivamente la somma.

Il metodo principale, che viene usato per dimostrare molti altri è il criterio del confronto: se e sono due serie a termini positivi tali che per ogni sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima. Inversamente, se la prima diverge così farà la seconda.

Altri criteri molto usati sono il criterio del rapporto e il criterio della radice: nel primo si studia il comportamento della quantità , mentre nel secondo della quantità al tendere di a . In entrambi i casi, se questo limite è minore di la serie converge, se è maggiore diverge, mentre se è uguale a il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

Per serie a termini di segno alterno è disponibile il criterio di Leibniz, il quale afferma che se è decrescente e tende a , allora la serie converge.

Bibliografia Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis. McGrawHill, 1994. Michael Spivak, Calculus. Houston, Publish or Perish, 1994. ISBN 0914098896.

Voci correlate Serie (matematica) Criterio del rapporto Criterio della radice Teorema di Riemann-Dini

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