La relatività generale è la teoria della gravitazione pubblicata da Albert Einstein nel 1916.
Essa descrive l'interazione gravitazionale non più come azione a distanza fra corpi massivi, come nella teoria newtoniana, ma come effetto di una legge fisica che lega la geometria (più specificamente la curvatura) dello spazio-tempo con la distribuzione e il flusso in esso di massa, energia e impulso. In particolare, la geometria dello spazio-tempo identifica i sistemi di riferimento inerziali con le coordinate relative agli osservatori in caduta libera, che si muovono lungo traiettorie geodetiche. La forza peso risulta in questo modo una forza apparente osservata nei riferimenti non inerziali. La relatività generale è in grado di chiarire fenomeni non spiegati dalle precedenti teorie e di prevederne dei nuovi ed è alla base dei moderni modelli cosmologici della struttura a grande scala dell'universo e della sua evoluzione.
Come disse lo stesso Einstein, fu il lavoro più difficile della sua carriera, a causa delle difficoltà matematiche, poiché si trattava di far convergere concetti di geometria euclidea in uno spaziotempo curvo, che, in accordo con la relatività ristretta, doveva essere dotato di una struttura metrica di tipo lorentziano anziché euclideo. Egli trovò il linguaggio e gli strumenti matematici necessari nei lavori di geometria differenziale di Luigi Bianchi, Gregorio Ricci-Curbastro e Tullio Levi-Civita, che avevano approfondito nei decenni precedenti i concetti di curvatura introdotti da Carl Friedrich Gauss e Bernhard Riemann.
Storia Nel 1905 Einstein risolve le contraddizioni presenti tra le equazioni di Maxwell dell'elettromagnetismo e la relatività galileiana pubblicando in un articolo la relatività ristretta. Questa nuova teoria è però a sua volta in contraddizione con la teoria della gravitazione universale di Newton e negli anni successivi Einstein cerca di modificare la teoria della gravitazione in modo da risolvere tale incompatibilità.
Dopo dieci anni di studi, nel 1915 egli propone un'equazione, oggi nota come equazione di campo di Einstein, che descrive la gravità come curvatura dello spaziotempo ed è il cuore di una teoria del tutto nuova: la relatività generale. Oltre a risolvere il conflitto con la relatività ristretta, la nuova teoria gravitazionale risulta più precisa di quella newtoniana nel prevedere la precessione del perielio dell'orbita di Mercurio.
L'equazione di campo di Einstein è una equazione differenziale alle derivate parziali non lineare, per la quale non esiste una formula risolutiva generale. Solo un anno dopo, nel 1916, l'astrofisico Karl Schwarzschild trova una particolare soluzione all'equazione a simmetria sferica, oggi nota come spaziotempo di Schwarzschild; questa soluzione è utilizzata per descrivere lo spaziotempo attorno a corpi sferici, come stelle e pianeti, e prevede, in determinate condizioni, la presenza di buchi neri statici.
Nel 1919 Arthur Eddington organizza una spedizione in occasione di un'eclissi di Sole all'isola di Príncipe, che verifica una delle conseguenze della teoria, la flessione dei raggi luminosi di una stella in presenza del forte campo gravitazionale del sole. Negli anni successivi Einstein si interessa alle implicazioni cosmologiche della relatività generale; per evitare l'universo dinamico (o in contrazione o in espansione) previsto dalla sua teoria e ottenere un universo statico, introduce nell'equazione di campo una nuova costante, detta costante cosmologica. Nel 1929 gli studi di Edwin Hubble mostrano però che l'universo è in espansione e il modello statico di Einstein viene abbandonato.
Le implicazioni della teoria vengono quindi studiate intensamente a partire dagli anni sessanta. Nel 1967 John Wheeler conia il termine buco nero. Una parte rilevante degli studi di fisica teorica degli ultimi decenni è dedicata a conciliare la relatività generale con la meccanica quantistica. Nel 2016 sono osservate per la prima volta le onde gravitazionali, una delle previsioni più significative della teoria, mentre nel 2019 è stato osservato per la prima volta in modo diretto un buco nero.
Evoluzioni della teoria in informatica Data la difficoltà di trovare soluzioni esatte dell'equazione di campo, nell'ambito della relatività generale si è sviluppata la relatività numerica (o relatività computazionale), una specializzazione delle teoria e della fisica computazionale in cui gli algoritmi informatici sono usati per ricercare soluzioni approssimate dell'equazione di campo di Einstein utili all'applicazione in astrofisica. In particolare, la relatività numerica si occupa di studiare i buchi neri isolati e in sistemi binari e le stelle di neutroni (incluse le pulsar); questi oggetti sono fonti di onde gravitazionali e quindi fondamentali nello studio di questo fenomeno spazio-temporale.
Origini Relatività ristretta e gravitazione
Con l'introduzione della relatività ristretta nel 1905 Einstein rende compatibili l'elettromagnetismo e la meccanica classica. Più precisamente, la teoria riesce nel difficile intento di conciliare i principi fisici seguenti: il principio di relatività galileiana, che asserisce che le leggi fisiche sono le stesse per tutti i sistemi inerziali. Matematicamente, ciò equivale a chiedere che tutte le leggi della fisica siano simmetriche (cioè invarianti) rispetto alle cosiddette trasformazioni galileiane; le equazioni di Maxwell governanti l'elettromagnetismo, e in particolare il fatto (conseguenza di queste equazioni) che le onde elettromagnetiche viaggiano sempre alla stessa velocità , indipendentemente dal sistema di riferimento scelto.
I due principi sono incompatibili. Per risolvere questa contraddizione, Einstein mantiene il principio di relatività, accetta come universale la costanza della velocità della luce introdotta dall'elettromagnetismo e sostituisce le trasformazioni galileiane con nuove trasformazioni, introdotte poco prima da Hendrik Lorentz e perciò dette trasformazioni di Lorentz. Questa modifica concettuale produce effetti concreti soltanto per corpi che viaggiano a velocità vicine a , ma cambia radicalmente le nozioni di spazio e di tempo, che, mentre nella meccanica galileiana sono distinte, nella teoria di Einstein divengono un tutt'uno nello spaziotempo (in seguito spaziotempo di Minkowski).
L'incongruenza fra le due teorie è felicemente risolta, ma la soluzione proposta crea una nuova contraddizione, questa volta con una teoria fisica vecchia di due secoli: la teoria della gravitazione universale. La teoria di Isaac Newton, infatti, è compatibile con il principio di relatività galileiana, ma non con il nuovo principio di relatività di Einstein. Le incongruenze principali sono le seguenti: secondo la relatività ristretta, nessuna informazione può viaggiare più veloce della luce. D'altro canto, secondo la teoria di Newton la forza di gravità ha effetto istantaneo: se il Sole si dovesse spostare in una direzione, la forza che esercita sulla Terra cambierebbe immediatamente, senza ritardo. L'informazione "il Sole si sposta" è quindi trasmessa istantaneamente, e quindi a velocità maggiori di la legge di gravitazione universale non è invariante rispetto alle trasformazioni di Lorentz: la forza di gravità non rispetta quindi il (nuovo) principio di relatività.
Principio di equivalenza
Nel 1908 Einstein enuncia un principio di equivalenza che darà successivamente un forte impulso allo sviluppo della teoria. Come confermato dall'Esperienza di Eötvös e dagli esperimenti successivi, la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo risultano avere lo stesso valore, cioè . Questa uguaglianza è un fatto sperimentale che non discende da alcun principio della fisica classica; i ruoli di queste due quantità sono infatti ben diversi: la massa inerziale misura quanto il corpo si opponga all'applicazione di una forza, come enunciato dal secondo principio della dinamica e cioè dalla formula
La massa gravitazionale misura invece la capacità di un corpo di attrarne un altro, di massa , secondo la legge di gravitazione universale
La massa gravitazionale ha nella legge di gravitazione universale lo stesso ruolo della carica elettrica nella legge di Coulomb.
Il fatto che queste due quantità (massa inerziale e massa gravitazionale) risultino sperimentalmente coincidere implica il fatto, osservato già da Galileo intorno al 1590, che la traiettoria di un corpo in caduta libera non dipenda dalle proprietà del corpo. Uguagliando le due formule, si ottiene infatti in particolare che la sua accelerazione è data da
I valori non dipendono infatti dalle proprietà del corpo in caduta.
Einstein studia le conseguenze della relazione formulando il seguente esperimento mentale. Si consideri un osservatore situato all'interno di una stanza chiusa. Se la stanza è poggiata sulla superficie terrestre, l'osservatore percepisce una forza verso il basso dovuta alla gravità: come mostrato in figura, lasciando cadere una palla potrà misurarne l'entità. Se la stanza è invece nello spazio, lontana da campi gravitazionali, contenuta in un razzo che sta accelerando verso l'alto, l'osservatore percepisce anche in questo caso una forza verso il basso: questa forza, dovuta all'inerzia del suo corpo, è la stessa forza che percepiamo normalmente alla partenza e all'arrivo in un ascensore. L'uguaglianza ha come conseguenza che l'osservatore non può in alcun modo capire se la forza che avverte sia dovuta a un campo gravitazionale o a un'accelerazione.
Analogamente, se la stanza è in caduta libera verso (ad esempio) la Terra, l'osservatore al suo interno non percepisce alcuna forza di gravità: se lascia cadere una moneta, osserva che questa non cade al suolo ma resta sospesa a mezz'aria. L'osservatore non ha nessuno strumento per capire se è in una zona dell'universo senza campi gravitazionali, o se invece sta cadendo verso un pianeta.
La curvatura dello spaziotempo
Con la relatività ristretta, Einstein sostituisce lo spazio e il tempo newtoniano con lo spaziotempo di Minkowski. Le dimensioni sono sempre quattro, ma la novità sta nel "mescolamento" fra le tre dimensioni spaziali e quella temporale, la cui "separazione" varia a seconda del sistema in cui sta l'osservatore. Da un punto di vista matematico, lo spazio-tempo di Minkowski è dotato di un prodotto scalare lorentziano, cioè con segnatura (3,1). Non avendo lo spazio-tempo un'origine preferita, si parla più precisamente di spazio affine.
Nella relatività generale, lo spazio-tempo di Minkowski è solo un modello che approssima localmente lo spazio-tempo, che è in realtà "distorto" dalla massa. Tutte queste nozioni utilizzano concetti matematici rigorosi e non banali, sviluppati all'inizio del Novecento.
La nozione matematica che descrive uno spazio-tempo quadridimensionale localmente modellato su è quella di varietà. Le varietà sono oggetti di dimensione arbitraria abitualmente studiati in topologia. Secondo la relatività generale, lo spazio-tempo è una varietà lorentziana di dimensione 4. Il termine "lorentziano" indica che lo spazio tangente in ogni punto è dotato di un prodotto scalare di segnatura (3,1). Informalmente, questo sta a indicare che lo spazio-tempo è localmente modellato sullo spazio-tempo di Minkowski. Questo prodotto scalare di segnatura (3,1) è più precisamente un tensore, detto tensore metrico.