In statistica, il coefficiente di determinazione, più comunemente R2, è un indice che misura il legame tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato. Intuitivamente, esso è legato alla frazione della varianza non spiegata dal modello.

Definizione La definizione più generale è la seguente:

con devianza residua (Residual Sum of Squares):

devianza totale (Total Sum of Squares):

dove: sono i dati stimati dal modello, sono i dati osservati, è la media dei dati osservati.

Adjusted R2 Ladjusted (o ) (meglio conosciuto in Italiano come corretto o aggiustato) è una variante dell' semplice.

Mentre semplice è utilizzato per l'analisi di regressione lineare semplice come principale indice di bontà della curva di regressione, corretto viene utilizzato per l'analisi di regressione lineare multipla. Esso serve a misurare la frazione di devianza spiegata, cioè la proporzione di variabilità di "spiegata" dalla variabile esplicativa . All'aumentare del numero di variabili esplicative (o predittori) , aumenta anche il valore di , per cui spesso è utilizzato al suo posto , che serve a misurare la frazione di varianza spiegata.

Il coefficiente può essere negativo e vale sempre la disuguaglianza .

dove: è il numero delle osservazioni; è il numero dei regressori.

R2 e correlazione lineare Se si ha a disposizione la correlazione tra due variabili discrete, , (o indice di correlazione di Pearson) si può determinare il coefficiente di determinazione, elevando semplicemente al quadrato la correlazione. D'altra parte, se si ha a disposizione (che varia fra 0 e 1), si può determinare il coefficiente di correlazione solo a meno del segno calcolandone la radice quadrata. La relazione tra i due è quindi la seguente:

dove è la correlazione tra le variabili e , ottenibile dividendo la covarianza tra le due variabili e il prodotto dei loro scarti quadratici medi

La formula empirica di questo modello è il seguente:

dove è la devianza spiegata dal modello (Explained Sum of Squares). Questa definizione è possibile poiché, per regressioni lineari semplici, la devianza può essere scomposta come .

R2 varia tra e 1: quando è 0 il modello utilizzato offre una spiegazione dei dati non migliore del valore medio (); quando è 1 il modello spiega perfettamente i dati. Un modello peggiore della media () ha coefficiente minore di 0.

Interpretazione Se o sono prossimi a 1, significa che i regressori predicono bene il valore della variabile dipendente in campione; mentre se è uguale a 0, significa che non lo fanno.

I coefficienti e non dicono se: una variabile sia statisticamente significativa; i regressori sono causa effettiva dei movimenti della variabile dipendente; c'è una distorsione da variabile omessa; è stato scelto il gruppo dei regressori più appropriato.

Note

Bibliografia 9788871922676 Draper, N.R. and Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-17082-8 Everitt, B.S. (2002). Cambridge Dictionary of Statistics (2nd Edition). CUP. ISBN 0-521-81099-X Nagelkerke, Nico J.D. (1992) Maximum Likelihood Estimation of Functional Relationships, Pays-Bas, Lecture Notes in Statistics, Volume 69, 110p ISBN 0-387-97721-X Luigi Fabbris, Statistica multivariata (analisi esplorativa dei dati). 1997, McGrawHill. ISBN 88-386-0765-6

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Categoria:Analisi di regressione