In algebra lineare, i numeri duali sono un'estensione dei numeri reali, introdotti nel XIX secolo da William Clifford, ottenuta aggiungendo a essi un elemento caratterizzato dalla proprietà di essere nilpotente, ovvero tale che il suo quadrato è pari a zero. I numeri duali, nonostante non possiedano le proprietà di un campo, costituiscono un insieme con proprietà complementari a quelle dei numeri complessi. Essi trovano diverse applicazioni in fisica, sia nelle teorie classiche, sia in quelle riguardanti la relatività einsteiniana e la fisica delle particelle.
Algebra dei numeri duali
Indicato con l'elemento nilpotente, ogni numero duale può quindi essere scritto nella forma:
,
dove e sono numeri reali, e vale la relazione
.
L'elemento ha una funzione analoga all'unità immaginaria dei numeri complessi, e spesso viene definito anch'esso unità immaginaria.
In generale, è possibile eseguire le normali operazioni algebriche sui numeri duali, considerando come una variabile e avendo cura di sostituire con 0 quando . È così possibile calcolare la somma e il prodotto di due numeri duali e :
Con le operazioni sopra descritte, i numeri duali formano un'algebra associativa e commutativa dotata di unità.
Divisione
L'operazione di divisione tra due numeri duali è definita come moltiplicazione per l'inverso moltiplicativo del divisore; analogamente ai numeri complessi, è possibile eseguire la divisione moltiplicando dividendo e divisore per il coniugato del divisore:
La divisione è definita per , per cui tutti i duali privi di parte reale non sono invertibili e i numeri duali non costituiscono un campo. Calcolo numerico delle derivate
L'unità immaginaria dei numeri duali ha proprietà analoghe agli infinitesimi utilizzati nell'analisi non standard, i cui quadrati hanno valore "quasi" nullo (più precisamente, sono infinitesimi di ordine superiore). Questa caratteristiche hanno interessanti applicazioni nella definizione dei polinomi su numeri duali: dato il polinomio , è possibile scrivere il suo sviluppo di Taylor, centrato nel punto ; questo sviluppo è troncato al secondo termine, in quanto tutti i termini successivi contengono potenze dell'unità immaginaria superiori a uno:
.
Dalla formula sopra segue che conoscendo il valore del polinomio in un determinato numero duale, è possibile conoscere il valore della derivata del polinomio, calcolato sulla parte reale. È anche possibile generalizzare questa formula utilizzandola per definire le funzioni trascendenti sui numeri duali:
.
Rappresentazioni
Rappresentazione matriciale
I numeri duali sono identificabili con le matrici reali della forma:
che rappresenta il numero .
In questo modo, le usuali operazioni di somma e prodotto tra matrici coincidono con la somma e il prodotto di numeri duali; l'elemento nilpotente è dato dalla matrice
Rappresentazione polare
È possibile definire il modulo di un numero duale come:
.
La circonferenza unitaria è allora costituita dalle rette di equazione , mentre l'equivalente della formula di Eulero è:
.
Dato allora il numero , se è possibile scomporlo come:
.
I due parametri e si possono considerare le coordinate polari del numero duale.
Generalizzazioni
La costruzione eseguita può essere generalizzata a qualunque anello commutativo : i numeri duali su sono gli elementi dell'anello quoziente , dove è l'anello dei polinomi a coefficienti in e è l'ideale generato da .
L'ideale non è massimale è contenuto nell'ideale , per cui l'anello dei duali non è mai un campo; l'inverso dell'elemento è , ed è definito se è una unità in .
Applicazioni Trasformazioni di Galileo
In cinematica, le trasformazioni di Galileo possono essere rappresentate mediante i numeri duali: dato il sistema di riferimento , che si muove con velocità relativa rispetto al sistema di riferimento , la trasformazione delle coordinate tra i due sistemi è data dalla matrice del numero duale :
,
ovvero:
Superspazi in fisica
I numeri duali costituiscono un semplice esempio di superspazio, utilizzato da alcune teorie fisiche, quali la relatività generale e le teorie supersimmetriche, per descrivere la configurazione spaziale. Ad esempio, nella Supersimmetria la loro componente reale è detta direzione bosonica, quella immaginaria direzione fermionica. Quest'ultima deriva il proprio nome dai fermioni, particelle che obbediscono al principio di esclusione di Pauli: con uno scambio di coordinate, la loro funzione d'onda cambia di segno, e considerando entrambe le coordinate, la funzione d'onda si annulla. Questo comportamento può essere sintetizzato nelle proprietà dell'elemento nilpotente.
Note
Bibliografia
Voci correlate
Algebra di Clifford Numero complesso iperbolico Numero iperreale Superspazio
Collegamenti esterni
Categoria:Matrici quadrate Categoria:Algebra commutativa Categoria:Algebra differenziale