In algebra, i teoremi di Sylow sono dei risultati fondamentali della teoria dei gruppi finiti, che permettono la scomposizione di gruppi in sottogruppi il cui studio è più facile.

Essi affermano quanto segue. Sia un gruppo finito di ordine (ossia costituito da elementi). Sia un numero primo. Allora per ogni potenza di che divida esistono sottogruppi di di ordine . Inoltre, se è la massima potenza di che divida , allora i sottogruppi di di ordine sono coniugati fra loro.

Questi teoremi sono stati dimostrati per la prima volta nel 1872 da Ludwig Sylow, e pubblicati sulla prestigiosa rivista Mathematische Annalen.

Primo teorema di Sylow Enunciato Sia un gruppo finito, e sia un numero primo tale che e (ossia con ). Allora esiste almeno un sottogruppo di di ordine (detto -sottogruppo di Sylow).

Dimostrazione Denotiamo con la collezione di tutti i sottoinsiemi di formati da elementi:

La cardinalità di non è divisibile per . Infatti, per le combinazioni semplici:

Per l'identità di Frobenius reiterata nell'anello di polinomi si ha , da cui:

Espandendo con il binomio di Newton e confrontando i coefficienti di da entrambi i lati, si ottiene:

Poiché per ipotesi , segue che .

Definiamo un'azione di su per moltiplicazione a sinistra:

Poiché le orbite formano una partizione di , abbiamo che:

dove denota l'insieme delle orbite distinte. Allora esiste sicuramente un'orbita che ha cardinalità non divisibile per , poiché non è multiplo di . Sia quindi e sia il suo stabilizzatore. Per il teorema orbita-stabilizzatore si ha:

Il numero divide , ma non divide : allora divide . Ne segue che:

D'altra parte, fissato un elemento , la funzione

è iniettiva. Quindi vale anche:

Ne segue che è un sottogruppo di cardinalità .

Secondo teorema di Sylow Per enunciare il secondo teorema di Sylow, definiamo i cosiddetti -Sylow.

Definizione di p-sottogruppo di Sylow Sia un gruppo finito, e sia un numero primo che divide l'ordine di . Posto , con (dunque è la massima potenza di che divide l'ordine di ), si definisce -sottogruppo di Sylow (o semplicemente -Sylow) di ogni sottogruppo di avente ordine . L'insieme di tutti i -sottogruppi di Sylow di si denota comunemente con .

Enunciato Sia un gruppo finito di ordine , con primo e . Se è un -sottogruppo e , allora esiste un elemento tale che . In particolare, tutti i -Sylow di sono a due a due coniugati.

Dimostrazione Sia e consideriamo l'insieme dei laterali destri di :

Facciamo agire il sottogruppo su tramite moltiplicazione a destra:

La cardinalità di è l'indice di in , ossia ; per ipotesi, dunque, .

Poiché è un -gruppo, per il teorema orbita-stabilizzatore la cardinalità di ciascuna orbita divide , ed è quindi una potenza di :

Applicando l'equazione delle orbite modulo , si ha:

dove indica il sottoinsieme dei laterali fissati da tutti gli elementi di . Poiché , si deduce che , e di conseguenza .

Esiste quindi almeno un elemento fissato in , che indichiamo con . Dalla definizione di punto fisso, per ogni si ha:

Poiché ciò vale per ogni , segue che:

Se in aggiunta assumiamo che , allora ; l'inclusione tra insiemi finiti della stessa cardinalità impone necessariamente , dimostrando che ogni coppia di -Sylow è coniugata.

Numero di elementi in Sylp(G) Sia . L'azione per coniugio di sull'insieme è transitiva per il teorema appena dimostrato; ciò significa che l'insieme dei coniugati coincide con tutto .

Dalla formula orbita-stabilizzatore, ricordando che lo stabilizzatore di un sottogruppo rispetto all'azione di coniugio è il suo normalizzatore , si conclude che:

Terzo teorema di Sylow Il terzo teorema di Sylow fornisce importanti informazioni sul numero dei -Sylow di un gruppo, utilizzando i concetti di divisibilità e di congruenza.

Enunciato Sia un gruppo, e sia con ed coprimi. Allora, detto il numero dei -Sylow di , risulta:

Dimostrazione Detto , si ha Considerando per il secondo teorema di Sylow risulta che considerando l'azione per coniugio di su . Dunque, , dove l'ultima uguaglianza segue dal fatto che lo stabilizzatore di nell'azione per coniugio è proprio il normalizzante di in . Per il teorema di Lagrange

Dunque, poiché allora divide ; e poiché ne segue che

Rimane da dimostrare la seconda parte della tesi. A tale scopo consideriamo e definiamo l'azione

Questa azione ha un numero di orbite, che indichiamo con al variare di in . Per l'equazione delle orbite, segue dunque che

Tutte queste orbite hanno lunghezza o 1 o una potenza propria di . Osserviamo innanzitutto che per qualche e che

Per verificare la tesi, dobbiamo a questo punto solo mostrare che tutte le altre orbite hanno lunghezza un multiplo di . Supponiamo, per assurdo, che l'orbita di non sia l'unica di lunghezza 1, ossia supponiamo che esista tale che . Allora , ossia . Il che implica che , poiché per ogni . Dunque, e il suo ordine vale:

Il numeratore vale poiché entrambi appartengono ad ; al denominatore troviamo invece una potenza di , con esponente strettamente minore di , in quanto e . Il denominatore non può valere poiché se così fosse risulterebbe , ma questo non è possibile perché avevamo supposto per ipotesi che fosse . Dunque, , con . Ma questo è un assurdo, poiché . Dunque l'ipotesi che esistesse un'altra orbita, oltre a quella di , di lunghezza 1 è un assurdo. Quindi,

Due semplici applicazioni Un gruppo di ordine con e primi, minore di che non divide , per esempio di ordine , è necessariamente un gruppo ciclico.

Il numero di -Sylow è congruo 1 modulo e divide quindi si ha necessariamente essendo minore di . Inoltre essendo e poiché divide deve essere (non può essere per la condizione che non divide ). Ogni Sylow è quindi un sottogruppo normale. Ma allora si può realizzare come prodotto diretto dei suoi Sylow (che hanno come elemento comune solo l'identità). Inoltre e sono primi fra loro quindi il gruppo è ciclico.

Si osservi l'importanza della condizione che non divida : basta pensare che esistono due gruppi di ordine (quello ciclico e il gruppo simmetrico su tre oggetti).

Vediamo perché un gruppo di ordine contiene un sottogruppo ciclico normale di ordine 11. Il numero di 3-Sylow deve essere congruo a 1 modulo 3 e deve dividere 44, le uniche possibilità sono 1, 4 e 22. Il numero di 11-Sylow invece deve essere congruo a 1 modulo 11 e dividere 12 quindi o . Se fosse avremmo 44 elementi di periodo 3 e questo implica n11=1 perché altrimenti ci sarebbero 120 elementi di periodo 11: troppi!

Qualora fosse il 3-Sylow sarebbe normale. Allora avrebbe ordine 44 e conterrebbe un sottogruppo normale di ordine 11. A questo sottogruppo corrisponde un sottogruppo normale di di ordine 33, quindi ciclico. Un elemento di periodo 11 in genera il sottogruppo normale di ordine 11 cercato.

L'ultima possibilità è . Anche in questo caso n11 non può valere 12. Se così fosse avremmo 8 elementi di periodo 3, 120 di periodo 11 e l'identità. C'è posto solo per 3 elementi di periodo 2. Allora il 2-Sylow è normale. Vediamo il quoziente : ha ordine 33. Questo è ciclico e contiene un sottogruppo di ordine 11. A questo corrisponde un sottogruppo normale di di ordine 44. Tale sottogruppo ha esattamente 10 elementi di periodo 11: troppo pochi (avevamo supposto che ne avesse complessivamente 120).

Bibliografia Claudia Menini, Freddy Van Oystaeyen, Abstract Algebra: A Comprehensive Treatment, CRC Press, ISBN 978-0-8247-0985-3 Dikran Dikranjan e Maria Silvia Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori, 2007, ISBN 978-8-8207-4098-6

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Categoria:Teoria dei gruppi finiti Sylow