In matematica, più precisamente in analisi funzionale, un mollificatore è una funzione di variabile reale che soddisfa certe proprietà di regolarità e di limitatezza del supporto.
Le successioni di mollificatori sono usate spesso per approssimare (in un senso ben preciso) funzioni che presentano delle discontinuità o degli "angoli" mediante funzioni più regolari, che localmente sono costruite tramite una media integrale del valore della funzione nel punto.
Definizione Un mollificatore è una funzione che soddisfa le seguenti proprietà:
dove con si intende il supporto di , cioè la chiusura dell'insieme di punti dove non si annulla, e è la palla centrata nell'origine di raggio ..
Si dimostra che esistono infinite successioni di mollificatori; una possibile costruzione è la seguente:
dove è una costante che normalizza l'integrale a 1.
Proprietà e utilizzi
In analisi funzionale e teoria delle distribuzioni si lavora di solito con funzioni "regolari", cioè possedenti un certo numero di derivate, costruendo strumenti per estrapolare informazioni e dare risultati su esse. Se ciò non è possibile, si tenta di "regolarizzare" una funzione, cioè approssimarla con funzioni regolari, che tendano alla funzione originaria in una certa topologia funzionale.
I mollificatori si prestano bene allo scopo: se ad es. è la funzione da regolarizzare (ad esempio localmente integrabile), allora la funzione:
per le proprietà della convoluzione è liscia e dunque altamente regolare. Tale funzione si presenta come una media pesata dei valori di per punti vicini a , in quanto per definizione di l'integranda è non nulla solo in una palla centrata in di raggio e assume valori massimi (che quindi per l'integrale "contano" di più) per valori molto vicini a .
La bontà di questa costruzione è assicurata dai seguenti risultati:
Se è continua allora converge a uniformemente sui compatti.
Se , con , allora converge a in norma .
Quest'ultimo risultato consente anche di dimostrare che lo spazio delle funzioni test è denso sia in che nello spazio di Sobolev per .
Note
Bibliografia
Voci correlate Convoluzione Funzione di cutoff Funzione test Spazio Lp Spazio di Sobolev
Categoria:Funzioni reali di più variabili reali Categoria:Analisi funzionale