In matematica, le radici -esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui -esima potenza è , ossia le soluzioni dell'equazione:

Le radici Nel campo complesso per ogni intero positivo esistono esattamente radici -esime dell'unità e hanno la forma thumb|right|Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con intero, .

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con lati che ha un vertice in .

Tra queste radici le uniche reali sono r0=1 e, se (cioè è pari) rk=-1.

Per ogni l'insieme delle radici -esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive -esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici -esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive -esime dell'unità sono quelle radici -esime dell'unità tali che:

Il numero di radici primitive -esime dell'unità è uguale al numero di interi minori di e coprimi con . Qui è la funzione φ di Eulero.

Radici di un numero complesso qualsiasi Le radici -esime di un numero complesso possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare

Se è diverso da zero, le radici -esime di sono effettivamente radici distinte. Una di queste è la seguente

Infatti

Più in generale, le radici di si ottengono moltiplicando con le radici dell'unità. Quindi

Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è .

Esempi Le radici quarte di un numero reale positivo sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di sono quindi:

Le radici -esime di formano nel piano complesso un poligono regolare di lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di in senso antiorario il poligono formato dalle radici -esime dell'unità. Il numero è vertice del poligono quando è dispari.

Alcune radici di 1

Voci correlate Polinomio ciclotomico Equazione ciclotomica Uno Unità immaginaria Radicale (matematica) Radice (matematica) Numero complesso

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