In matematica, uno spazio topologico è la struttura fondamentale e l'oggetto di base della topologia. In termini generali, si tratta di uno spazio matematico in cui è definita una nozione di "vicinanza" fra i punti, ma delineata nel modo più debole e generale possibile, senza che questa debba necessariamente essere misurata da una distanza numerica. Intuitivamente, ciò che caratterizza uno spazio topologico è infatti la sua forma e la relazione tra le sue parti, non le proprietà metriche.
Più formalmente, uno spazio topologico è costituito da un insieme (i cui elementi sono chiamati punti) e da una struttura aggiuntiva chiamata topologia. Quest'ultima si esprime attraverso un approccio assiomatico basato sulla teoria degli insiemi, definendo una collezione di sottoinsiemi (solitamente definiti come insiemi aperti o intorni) che soddisfano alcuni assiomi minimi. Grazie a questa impalcatura teorica, lo spazio topologico fornisce il vocabolario e il quadro generale per definire rigorosamente concetti cardine dell'analisi matematica e della geometria, come limite, convergenza, continuità, frontiera e connessione.
Lo spazio topologico è il tipo più generale di spazio matematico. Molti degli spazi comunemente usati, come gli spazi euclidei, gli spazi metrici e le varietà, sono di fatto casi particolari di spazi topologici, a cui vengono aggiunti vincoli e strutture proprie (come, ad esempio, una funzione di distanza). La straordinaria generalità di questa definizione permette di applicarla a un numero enorme di situazioni diverse: insiemi finiti o discreti, spazi -dimensionali, complessi spazi funzionali e in geometria algebrica.
Sebbene storicamente ci sia voluto del tempo per arrivare alla definizione astratta comunemente usata oggi, il concetto di spazio topologico è una base concettuale imprescindibile che compare in quasi tutti i rami della matematica moderna. Lo studio di questi spazi nelle loro proprietà fondamentali prende il nome di topologia generale (o topologia degli insiemi di punti), la quale funge da fondamento per estensioni più avanzate volte ad analizzare la "forma" degli spazi, come la topologia differenziale e la topologia algebrica.
Il concetto di spazio topologico è strettamente connesso a un ampio ventaglio di argomenti matematici e per essere compreso a pieno, richiede una buona comprensione di altri concetti altrettanto fondamentali quali la teoria degli insiemi, gli spazi euclidei, le nozioni di limite e continuità e, in modo particolare, il concetto di spazio metrico, che rappresenta un passaggio chiave per avvicinarsi in modo consapevole alla topologia.
Storia e motivazioni Motivazioni Nell'analisi matematica, lo studio delle nozioni di limite e continuità nell'insieme dei numeri reali e negli spazi euclidei si avvale dell'introduzione del concetto di "intorno" e del concetto, ad esso strettamente collegato, di "insieme aperto". Le nozioni di convergenza e di continuità, infatti, possono essere espresse interamente in termini di soli insiemi aperti.
La famiglia degli insiemi aperti di (o di qualunque altro spazio euclideo) soddisfa le seguenti tre condizioni: l'insieme vuoto e l'intero spazio sono aperti; l'unione di una quantità arbitraria di aperti è un aperto; l'intersezione di un numero finito di aperti è un aperto.
Queste tre condizioni si rivelano necessarie e sufficienti per dimostrare diversi risultati fondamentali dell'analisi, come la preservazione della compattezza e della connessione da parte delle funzioni continue. Per questo motivo, esse vengono assunte come le proprietà assiomatiche fondamentali che uno spazio topologico astratto deve verificare.
Attraverso la nozione di spazio topologico si cerca quindi di individuare le proprietà essenziali che permettano di definire un concetto di continuità analogo a quello degli spazi euclidei, ma applicato a un'idea astratta di spazio. Gli aperti di uno spazio euclideo godono naturalmente di molte altre proprietà che, tuttavia, in questo contesto astratto non sono richieste: ciò garantisce un maggiore livello di generalità pur permettendo di ottenere risultati matematici significativi. Successivamente, gli spazi topologici definiti in questa massima generalità vengono classificati in base a ulteriori proprietà specifiche, che possono renderli via via più "simili" agli spazi euclidei.
Storia Le origini della topologia affondano le radici nel XVIII secolo. Intorno al 1735, Leonhard Euler scoprì la formula (indicata anche in diverse varianti notazionali), che mette in relazione il numero di vertici, archi (o spigoli) e facce di un poliedro convesso, applicabile anche allo studio dei grafi planari. Lo studio e la generalizzazione di questa formula, portati avanti in particolare da Augustin-Louis Cauchy (1789–1857) e Simon Antoine Jean L'Huilier (1750–1840), diedero un forte impulso a questo nuovo campo della matematica.
Nel 1827, Carl Friedrich Gauss pubblicò le Indagini generali sulle superfici curve (Disquisitiones generales circa superficies curvas), dove definì la superficie curva in un modo che si avvicina alla moderna comprensione topologica: identificò infatti la curvatura continua in un punto analizzando il comportamento delle rette tracciate verso punti a distanza infinitesima, verificandone lo scostamento rispetto al piano passante per il punto stesso. Tuttavia, fino al lavoro di Bernhard Riemann risalente al 1850, le superfici venivano sempre trattate da un punto di vista strettamente locale (come superfici parametriche) e le questioni puramente topologiche non venivano prese in considerazione.
Furono August Ferdinand Möbius e Camille Jordan i primi a comprendere che il problema centrale della topologia delle superfici compatte era la ricerca di invarianti (preferibilmente numerici) che permettessero di decidere l'equivalenza delle superfici stesse, ossia di stabilire se due superfici fossero omeomorfe o meno. L'argomento fu poi inquadrato chiaramente da Felix Klein nel suo celebre "Programma di Erlangen" del 1872, in cui la disciplina veniva descritta come lo studio degli invarianti geometrici rispetto a trasformazioni continue arbitrarie.
Il termine "topologia" fu introdotto formalmente da Johann Benedict Listing nel 1847, per sostituire la precedente dicitura Analysis situs, sebbene Listing stesso lo utilizzasse già in alcune corrispondenze private da diversi anni.
La base moderna di questa scienza, estesa a spazi di qualsiasi dimensione, fu creata da Henri Poincaré, che pubblicò il suo primo articolo sull'argomento nel 1894. La formalizzazione moderna arrivò all'inizio del XX secolo: sebbene gli spazi metrici fossero stati introdotti già nel 1906 da Maurice Fréchet, il concetto astratto di spazio topologico fu definito per la prima volta da Felix Hausdorff nel 1914, all'interno della sua opera fondamentale Principi della teoria degli insiemi (fu sempre Hausdorff, tra l'altro, a diffondere l'uso del termine "spazio metrico").
Infine, negli anni '30, matematici come James Waddell Alexander II e Hassler Whitney affinarono i concetti geometrici introducendo l'idea che una superficie (o varietà) sia uno spazio topologico che, a livello locale, risulta simile a un piano euclideo.
Descrizione generale Uno spazio topologico è, come menzionato sopra, un insieme a cui viene aggiunta una struttura di "topologia". Grazie a questa struttura, è possibile definire, ad esempio, i seguenti concetti: parte interna, parte esterna e frontiera di un sottoinsieme; intorni di un punto; convergenza; insiemi aperti, insiemi chiusi, chiusura.
In realtà, questi concetti sono in qualche modo "equivalenti": se si formalizza uno solo di essi, gli altri possono essere definiti a partire da esso. Pertanto, una struttura topologica su un insieme può essere definita formalizzando uno qualunque di questi concetti. Molti libri di testo di livello universitario scelgono di definire la struttura topologica basandosi sul concetto di insieme aperto, che è matematicamente più maneggevole.
Inoltre, tramite la struttura topologica si possono definire concetti come continuità di una funzione tra spazi topologici e connessione di uno spazio.
Tutti i concetti sopra citati erano originariamente definiti per oggetti geometrici come gli spazi metrici, ma possono essere formulati anche senza una distanza, definendo, appunto, una struttura topologica. Uno dei vantaggi del concetto di spazio topologico è quello di fornire un'intuizione geometrica agli oggetti di studio dell'analisi e dell'algebra.
Conseguentemente uno degli obiettivi della topologia generale è generalizzare le proprietà che valgono per oggetti geometrici classici, come lo spazio euclideo. Pertanto, molte delle proprietà studiate nella topologia generale (ad esempio i vari assiomi di separazione o di numerabilità) sono solitamente valide nello spazio euclideo.
Per queste ragioni, il concetto di spazio topologico in sé è definito in modo molto debole e astratto. Tuttavia, in contesti specifici potrebbero non essere soddisfatte alcune proprietà desiderabili; ad esempio, in uno spazio topologico generale l'unicità del limite non è garantita. Pertanto, spesso si studiano spazi topologici a cui vengono aggiunte proprietà supplementari. L'unicità del limite menzionata sopra, ad esempio, è garantita se si aggiunge l'assioma di separazione (ossia la proprietà di Hausdorff).
Spazi topologici e spazi metrici Esempi rappresentativi di spazi topologici sono gli spazi metrici, di cui fa anche parte lo spazio euclideo. Ogni spazio metrico è necessariamente uno spazio topologico, ma il viceversa non è sempre vero. In altre parole, la struttura metrica è un concetto molto più forte e ricco di informazioni rispetto alla struttura topologica (che è invece debole e generalizzata); spazi che sono diversi come spazi metrici possono risultare identici come spazi topologici.
Ad esempio, fissando e considerando lo spazio metrico con la distanza Lp:
si nota che, sebbene vari al variare di (il valore numerico della distanza tra due punti dipende da ), la famiglia degli insiemi aperti generati rimane invariata (ci troviamo, cioè, sempre nello stesso spazio topologico). Di conseguenza, concetti come la convergenza di una successione o la continuità di una funzione non dipendono dalla scelta di , poiché sono proprietà puramente topologiche.
Ciò si deduce dal fatto che (sebbene gli ε-intorni usati nelle discussioni sui limiti con il metodo ε-N o ε-δ differiscano in base a ), l'esistenza di un limite e il punto a cui si converge rimangono identici indipendentemente da .
Più in generale, ciò che si ottiene deformando con continuità (come una membrana di gomma) uno spazio euclideo è diverso dallo spazio euclideo originale come spazio metrico, ma identico come spazio topologico, e la proprietà di convergenza o meno viene preservata.
Come visto sopra, quando si studiano concetti come la continuità e la convergenza, o si effettuano ricerche su trasformazioni continue, il concetto di spazio metrico può risultare poco flessibile, il che costituisce una forte motivazione per considerare il concetto più debole di spazio topologico.
Inoltre, nel definire ad esempio una varietà, si "incollano" più spazi metrici (sottoinsiemi aperti dello spazio euclideo) tramite mappe continue, ma poiché l'incollamento non tiene necessariamente conto della struttura metrica originale, è più naturale considerare lo spazio originale come uno spazio topologico piuttosto che come uno spazio metrico.
Ambiti di applicazione