In teoria dei numeri analitica, con funzioni L si denotano alcuni particolari tipi di funzioni speciali definite sui numeri complessi che generalizzano la funzione zeta di Riemann, codificando informazioni aritmetiche e geometriche. Oltre alla stessa funzione zeta di Riemann, altre importanti classi di funzioni L sono le funzioni L di Dirichlet e le funzioni L di Hecke.
Serie L Non vi è una definizione assiomatica univoca che indichi quali siano le funzioni L, e solitamente si procede "dal basso" indicando che alcune famiglie di funzioni sono funzioni L. In genere, una funzione L è definita a partire dalla sua serie L, una particolare serie di Dirichlet
definita sul semipiano complesso Re(s)>σ' per qualche numero reale σ'. Questa serie viene poi prolungata analiticamente a una funzione meromorfa sul piano complesso, andando a definire la funzione L vera e propria. Ad esempio, prolungano la funzione L ottenuta prendendo an = χ(n), ove χ è un carattere di Dirichlet, si ottiene la funzione L di Dirichlet associata al carattere χ.
Classe di Selberg Una possibile definizione delle funzioni L è stata proposta da Atle Selberg, che ha introdotto la Classe di Selberg. Le funzioni appartenenti a tale classe S sono le serie di Dirichlet
che soddisfano i seguenti 4 assiomi:
Prolungamento analitico: esiste un numero naturale m tale che sia una funzione intera.
Congettura di Ramanujan: i coefficienti crescono meno di ogni potenza, cioè
per ogni ε > 0.
Equazione funzionale: esiste una funzione della forma
ove Γ è la funzione gamma, ϵ è un numero complesso di modulo 1, d è un intero positivo, il livello Q e gli λj sono numeri reali positivi, e i μj sono numeri complessi con parte reale non negativa, tale che la funzione
soddisfi la relazione,
Prodotto di Eulero: a1 = 1 e, per Re(s) > 1
,
ove bn = 0 a meno che n non sia una potenza di un primo. Inoltre, |bn| < c nθ per qualche θ < 1/2 e c > 0.
Bibliografia
Jürgen Neukirch (1999): Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8 Ristampato in Collected Papers, vol 2, Springer-Verlag, Berlin (1991)
Voci correlate
Ipotesi di Riemann generalizzata
Collegamenti esterni
Progetto sulle funzioni L. Glimpses of a new (mathematical) world - a breakthrough third degree transcendental L-function revealed, Physorg.com, March 13, 2008 Creeping Up on Riemann, Science News, April 2, 2008
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