In ingegneria elettrica, elettronica e delle telecomunicazioni, la carta di Smith.. è un nomogramma usato nella soluzione di problemi delle linee di trasmissione o circuiti di adattamento nel campo della radiofrequenza (RF).. L'uso della carta di Smith è cresciuto in modo costante negli anni ed essa è ancora oggi largamente utilizzata, non solo come aiuto nella risoluzione di alcuni problemi, ma anche per mostrare graficamente come alcuni parametri a RF si modifichino variando la frequenza. La carta di Smith, utilizzata a partire da determinati dati numerici risulta, infatti, in molti campi, di più immediata comprensione rispetto a una tabella contenente le stesse informazioni e richiede un tempo minore per risolvere problemi numerici rispetto all'applicazione di formule matematiche.

La carta di Smith può essere usata per rappresentare vari parametri nel campo dell'elettronica e dell'elettrotecnica, tra i quali impedenza, ammettenza, coefficienti di riflessione, parametri di scattering (detti anche parametri S), cifra di rumore, curve a guadagno costante, regioni di stabilità incondizionata...

Descrizione generale

La carta di Smith viene tracciata sul piano complesso del coefficiente di riflessione, e i valori rappresentati sono tipicamente impedenze o ammettenze normalizzate, o in alcuni casi entrambi, che sono rappresentate con colori diversi per permettere di distinguerle. Tali grafici sono spesso conosciuti rispettivamente come carte di Smith Z, Y o YZ.. La normalizzazione permette di usare la carta di Smith per problemi che riguardano un qualunque valore di impedenza caratteristica o impedenza di sistema, benché tale valore sia in molti casi pari a . Con semplici costruzioni grafiche è possibile convertire ammettenze o impedenze normalizzate nel corrispondente coefficiente di riflessione.

La regione della carta di Smith più frequentemente usata è la regione interna o posta sulla circonferenza di raggio unitario, poiché per componenti passivi il modulo del coefficiente di riflessione è al più pari a uno. In ogni caso, la restante zona ha comunque una rilevanza matematica, essendo usata ad esempio nel progetto di oscillatori e nell'analisi della stabilità..

La carta di Smith possiede una scala angolare sia in gradi che in lunghezze d'onda normalizzate, quest'ultima idonea a risolvere problemi con componenti distribuiti. La scala graduata della lunghezza d'onda rappresenta, nel riferimento di un mezzo periodo, la distanza che intercorre tra la sorgente (o generatore) e il punto della linea in esame, oppure tra il carico e il punto in esame. La scala in gradi rappresenta invece la fase del coefficiente di riflessione complesso in tale punto. La carta di Smith può essere anche usata per l'adattamento o l'analisi di circuiti a parametri concentrati.

Poiché l'impedenza, l'ammettenza e tutti gli altri parametri elettrici variano con la frequenza, la soluzione che può venire trovata manualmente con la carta di Smith (rappresentata da un punto del piano) vale solo per una frequenza. In molti casi ciò è sufficiente, in quanto si tratta di applicazioni a banda stretta (tipicamente fino al 5-10% della banda), mentre per applicazioni su bande più larghe è necessario utilizzare più volte la carta di Smith. Se la distanza in frequenza tra i punti per i quali si effettua il calcolo è piccola, interpolando le soluzioni trovate si ottiene un luogo geometrico delle soluzioni.

Un luogo di punti che copre una certa banda di frequenza su una carta di Smith può essere usato per rappresentare: quanto un carico risulta capacitivo o induttivo; a quali frequenze risulta più facile adattare un certo carico; la qualità dell'adattamento di un certo carico.

L'accuratezza dei metodi che si basano sulla carta di Smith si riduce ovviamente se si studiano componenti che presentano una grande variabilità statistica dei parametri, benché sia comunque possibile ingrandire la scala del grafico in aree ristrette in modo da diminuire l'errore commesso.

Basi matematiche e fisiche

Ammettenze ed impedenze dimensionali e normalizzate

Una linea di trasmissione con un'impedenza caratteristica di può essere sempre pensata caratterizzata da un'ammettenza caratteristica pari a:

Una qualunque impedenza espressa in ohm, può essere normalizzata dividendola per l'impedenza caratteristica. Per le impedenze normalizzate viene usata la notazione minuscola . La versione normalizzata di risulta quindi:

Dualmente, per la corrispondente ammettenza normalizzata si ha:

Nel Sistema internazionale l'unità di misura per l'impedenza sono gli ohm, rappresentati dalla lettera greca omega (Ω) mentre per l'ammettenza vengono usati i siemens, rappresentati dalla lettera maiuscola S. I parametri normalizzati invece risultano adimensionali, come si può vedere dalla loro definizione. La normalizzazione delle ammettenze e delle impedenze è necessaria prima di utilizzare la carta di Smith. I risultati andranno poi correttamente denormalizzati moltiplicandoli per l'impedenza o l'ammettenza caratteristica per ottenere il valore specifico.

Linee di trasmissione

Secondo la teoria delle linee di trasmissione, se una linea di trasmissione viene terminata su un carico costituito da un'impedenza che differisce dall'impedenza caratteristica , si formerà un'onda stazionaria ottenuta dalla risultante dell'onda di tensione incidente e di quella riflessa . Usando la rappresentazione esponenziale per i numeri complessi, e la trasformata nel dominio dei fasori:

e

dove rappresenta la dipendenza temporale dell'onda ovvero la fase nel tempo, rappresenta la dipendenza spaziale, è la velocità angolare in radianti al secondo (rad/s), dove è la frequenza in hertz (Hz), è il tempo in secondi (s), e sono costanti dipendenti dalle condizioni al contorno (cioè dalle terminazioni, sorgente e carico), è la coordinata spaziale misurata lungo la linea di trasmissione in metri (m), crescente andando dal generatore verso il carico. Nel caso particolare in cui si ponga l'origine dell'asse dello spazio in corrispondenza del carico a fine linea, allora ogni punto della linea si trova a una coordinata x negativa. Inoltre è la costante di propagazione (si misura in 1/m), con è la costante di attenuazione in neper per metro (Np/m), è la costante di fase in radianti per metro (rad/m),

La carta di Smith può essere usata una frequenza alla volta, quindi la componente temporale della fase () è fissata, e per questo viene quindi spesso trascurata. Si ricordi che tale termine deve essere tenuto in conto se si vuole ricavare l'andamento temporale della corrente o della tensione. Si ottiene quindi: e

Andamento del coefficiente di riflessione rispetto alla coordinata spaziale

Il coefficiente di riflessione complesso è definito come il rapporto tra l'onda riflessa e quella incidente (o diretta), cioè:

dove C è un'opportuna costante dipendente dalle terminazioni.

Si consideri ora una linea di trasmissione uniforme, cioè nella quale è una costante. Considerando la formula precedente, il coefficiente di riflessione varia rispetto alla posizione lungo la linea di trasmissione. Se quest'ultima ha delle perdite (cioè è non nullo), l'andamento di è rappresentato sulla carta di Smith da una curva a spirale. Infatti il termine , proporzionale al modulo di , decresce esponenzialmente spostandosi dal carico al generatore (in quanto passa da 0 a un certo valore negativo).

Nella maggior parte dei casi si possono ritenere le perdite nulle o quanto meno trascurabili (), e ciò semplifica fortemente la risoluzione dei problemi. In assenza di perdite, l'espressione del coefficiente di riflessione diventa:

La costante di fase può inoltre essere riscritta come

dove è la lunghezza d'onda caratteristica della linea di trasmissione alla frequenza considerata.

Si ricava quindi:

Questa equazione mostra che, per un'onda stazionaria, il coefficiente di riflessione ha una periodicità pari a metà della lunghezza d'onda della linea di trasmissione. Per questo, la scala in lunghezze d'onda sulla ghiera esterna della carta di Smith che rappresenta la distanza del carico dal generatore ha come estremi 0 e 0.5, in quanto all'esterno di tale intervallo il comportamento è periodico.

Andamento dell'impedenza normalizzata rispetto alla coordinata spaziale

Se e sono rispettivamente la tensione e la corrente relative al carico in fondo alla linea di trasmissione, si può scrivere:

Essendo , dividendo tra loro queste equazioni, si può ricavare l'impedenza normalizzata:

Inserendo al posto di e il coefficiente di riflessione si ottiene:

Invertendo la formula e risolvendo rispetto a : .

In realtà, le stesse equazioni valgono, non solo a fine linea dove c'è il carico , ma anche in un generico punto della linea, per il quale, connettendo in esso un generatore, la linea presenta una certa impedenza d'ingresso , dove e sono rispettivamente la tensione e la corrente nel punto della linea considerato. Infatti, se introduciamo l'impedenza d'ingresso normalizzata , dividendo le equazioni

si ricava proprio tale impedenza normalizzata:

ed inserendo al posto di e il coefficiente di riflessione nel generico punto della linea si ottiene, anche per l'impedenza normalizzata in tale punto:

e invertendo .

Queste sono le equazioni utilizzate per costruire la carte di Smith delle impedenze. Da un punto di vista matematico, e , o in particolare a fine linea, sono legati da una trasformazione di Möbius. Si noti che sia che sono numeri complessi adimensionali, dipendenti dalla frequenza, perciò per ogni misurazione di essi bisogna anche tener conto della banda in cui tale misurazione è stata effettuata.

può essere espresso in modulo e fase sul diagramma polare, ed è proprio quello che viene fatto sulla carta di Smith. Come detto in precedenza, nei dispositivi passivi ogni coefficiente di riflessione deve avere un modulo minore o uguale a uno, e quindi può essere rappresentato con un punto interno alla circonferenza di raggio unitario. Il principale vantaggio della carta di Smith è che presenta diverse scale che permettono di convertire un generico valore del coefficiente di riflessione nel corrispondente valore di impedenza e viceversa. In sostanza, disegnando sulla carta di Smith come se fosse un generico diagramma polare un punto rappresentante un certo coefficiente di riflessione è possibile leggere sulle scale l'impedenza ad esso associata. Viceversa, data una certa impedenza normalizzata, questa può essere disegnata sulla carta di Smith mediante delle apposite scale e ricavare così graficamente il valore di . Questa tecnica in sostanza sostituisce l'utilizzo di equazioni per passare da a , o in particolare a fine linea.

Sostituendo l'espressione della variazione del coefficiente di riflessione lungo una linea di trasmissione senza perdite non adattata:

nell'equazione dell'impedenza normalizzata in funzione del coefficiente di riflessione

e usando la formula di Eulero:

si ottiene l'equazione che esprime come varia l'impedenza d'ingresso lungo una linea di trasmissione senza perdite:

ricordando ancora che, come detto in precedenza, la coordinata spaziale x è crescente andando dal generatore verso il carico. Nel caso particolare in cui si ponga l'origine proprio in corrispondenza del carico a fine linea, per cui ed ogni punto della linea ha coordinata x negativa, allora:

Se, invece della x, introduciamo una seconda coordinata spaziale e cioè la distanza dal carico, la quale, contrariamente a x, è crescente andando dal carico verso il generatore, ponendo l'equazione diventa..: