In matematica, lidentità di Eulero è il caso particolare della formula di Eulero in cui la variabile è uguale a pi greco. L'identità è considerata molto particolare ed è stata chiamata l'Equazione di Dio.
L'identità L'identità di Eulero è la seguente uguaglianza:
dove: e sono gli elementi neutri rispettivamente del prodotto e della somma, è il numero di Nepero, base dei logaritmi naturali, è l'unità immaginaria, il numero complesso il cui quadrato è , e è pi greco, il rapporto fra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.
L'identità è talvolta espressa equivalentemente come:
Nella prima formulazione si rende esplicita la relazione fra le cinque importanti costanti matematiche in essa contenute.
Storia e significato L'equazione, contrariamente a quanto si legge usualmente, non compare nellIntroductio in analysis infinitorum, il primo trattato sul calcolo infinitesimale di Eulero, pubblicato a Losanna nel 1748. In realtà, non è noto chi per primo abbia scritto esplicitamente la relazione, sebbene la formula di Eulero, oggi pertinente all'analisi complessa, fosse già assai nota nel Settecento: i matematici Roger Cotes e Abraham de Moivre l'avevano dimostrata in maniera indipendente e con procedimenti diversi. Tale formula si può scrivere come segue:
per ogni numero reale , essendo la funzione coseno e la funzione seno. L'identità di Eulero è un caso particolare di questa relazione: se , allora
e poiché, per definizione,
e
segue che
Percezione dell'identità
Benjamin Peirce, noto matematico e professore di Harvard del XIX secolo, dopo aver dimostrato l'identità in una lezione, disse: "Signori, posso dirlo con certezza, è assolutamente paradossale; non possiamo capirla, e non sappiamo che cosa significa. Ma l'abbiamo dimostrata, e quindi sappiamo che deve essere la verità."Maor, pag. 160. Maor cita Edward Kasner e James Newman, Mathematics and the Imagination, New York: Simon e Schuster (1940), pagg. 103–104 Richard Feynman chiamò la formula di Eulero (dalla quale l'identità è stata derivata) "la formula più straordinaria in matematica".Feynman pag. 22-10. Feynman, come molti altri, trovò questa formula notevole perché collega tra loro cinque tra le più importanti costanti matematiche:
Il numero , l'elemento neutro per l'addizione e l'elemento assorbente per la moltiplicazione (in quanto, per ogni , , ed in quanto vale la legge di annullamento del prodotto). Il numero , l'elemento neutro per la moltiplicazione (per ogni , ). Il numero è fondamentale nella trigonometria; è una costante per un mondo euclideo o per le piccole scale in una geometria non euclidea (altrimenti, il rapporto fra la lunghezza della circonferenza di un cerchio e il suo diametro non sarebbe una costante universale, cioè la stessa per tutte le circonferenze). Il numero è una costante fondamentale (detta anche numero di Nepero) connessa allo studio dei logaritmi in analisi (come lo studio delle equazioni differenziali, ad esempio la soluzione della equazione differenziale con condizione iniziale è ). L'unità immaginaria (dove ) è una unità nei numeri complessi. L'introduzione di questa unità rende risolvibili nel campo dei numeri complessi tutte le equazioni polinomiali non costanti. La formula contiene una potenza irrazionale (il numero irrazionale neperiano , elevato ad un esponente che contiene il fattore irrazionale ), rara nelle formule matematiche, e collega numeri irrazionali reali (), irrazionali immaginari (), e interi ().
La formula contiene anche tutti gli operatori fondamentali dell'aritmetica, ovvero uguaglianza, addizione, moltiplicazione e esponenziazione, nonché tutte le assunzioni fondamentali dell'analisi complessa, e gli interi e sono collegati al campo dei numeri complessi.
Note
Bibliografia Richard P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, vol. I Addison-Wesley (1977), ISBN 0-201-02010-6 Eli Maor, e: The Story of a number, Princeton University Press (May 4, 1998), ISBN 0-691-05854-7
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Collegamenti esterni
Formula e identità di Eulero Formula e identità di Eulero, potenze e logaritmi complessi. Lezione interattiva.
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