Il calcolo del calcestruzzo armato è l'insieme delle operazioni proprie dell'ingegneria strutturale necessarie al dimensionamento ed alla verifica di sezioni ed elementi in calcestruzzo armato.
Devono essere verificati gli sforzi e le deformazioni provocati dalle quattro azioni interne (azione assiale, taglio, momento flettente, momento torcente) e da loro combinazioni; in particolare questo può avvenire tramite due metodi: calcolo alle tensioni ammissibili calcolo agli stati limite (calcolo a rottura)
Travi Un elemento orizzontale in calcestruzzo armato, come una trave, è solitamente sottoposto a flessione, taglio ed eventualmente a torsione.
Calcolo a flessione
Il momento flettente è una tipica sollecitazione a cui sono sottoposti elementi strutturali come le travi. In tali circostanze si parla propriamente di trave inflessa, in cui si hanno sezioni che reagiscono al momento flettente, ed a cui è sottoposta con una distribuzione di tensioni normali in parte di trazione e in parte di compressione, senza contare la presenza di sollecitazioni dovute al taglio.
Per l'ipotesi che assume nulla la resistenza a trazione del calcestruzzo si verifica una parzializzazione della sezione con una parte reagente costituita da una zona di calcestruzzo compressa più tutta l'armatura metallica tesa e compressa. L'armatura sarà quindi disposta nel lembo teso della trave costituente il corrente teso, collaborante con il corrente compresso costituito dal calcestruzzo.
Il comportamento delle sezioni inflesse in calcestruzzo armato è differenziato a seconda dei livelli di sollecitazione: Stadio I: bassi livelli di sollecitazione, entrambi i materiali hanno comportamento elastico, le tensioni interne nel calcestruzzo hanno un andamento lineare (detto a farfalla) e la sezione è interamente reagente. Esiste anche uno stadio IA in cui il lembo teso assume tensioni prossime alla sua resistenza a trazione con comportamento ancora elastico lineare della parte compressa, non lineare di quella tesa. Questa fase viene spesso assimilata allo stadio I; Stadio II: raggiunta la resistenza a trazione del calcestruzzo si innesca la fessurazione che si estende istantaneamente fino ad una quota prossima all'asse neutro. Lo sforzo di trazione è assunto totalmente dalla parte metallica ed i materiali si trovano in condizioni di comportamento pressoché elastico lineare; Stadio III: sollecitazioni prossime alla resistenza flessionale ultima della sezione ed il comportamento non è più elastico lineare.
I primi due stadi si riferiscono alle verifiche di esercizio del manufatto, mentre il terzo stadio per la verifica della resistenza.
Comportamento di una sezione inflessa Osserviamo il comportamento sino a rottura di una sezione inflessa in c.a.: Consideriamo una trave appoggiata e sottoponiamola un carico crescente. Come già visto, nel processo di carico è possibile distinguere per la trave tre comportamenti differenti: Per carichi bassi la trave non presenta fessure. In questa fase le deformazioni sono molto piccole ed il comportamento dei materiali (acciaio e calcestruzzo) è lineare, così come la legge del diagramma momento - curvatura. La trave si comporta dunque secondo il modello di Navier previsto dalla teoria dell'elasticità ed il diagramma delle tensioni normali sulla sezione sarà del tipo a farfalla (stadio I); Col procedere della fase di carico si raggiunge a un certo punto il valore della resistenza a trazione del conglomerato ed appaiono le prime fessure al lembo inferiore. La tensione di trazione si trasferisce dal calcestruzzo teso all'acciaio e si ha una riduzione della rigidezza della trave. In questa fase, detta fessurata, il legame costitutivo del calcestruzzo può essere considerato con buona approssimazione ancora di tipo lineare ed il comportamento della trave viene esaminato ipotizzando nulla la resistenza a trazione del calcestruzzo (stato II - verifiche agli stati limite di esercizio); Quando il carico viene incrementato ulteriormente la legge costitutiva del calcestruzzo non risulta più lineare ed il legame tra deformazione e tensione è fornito dalla curva sforzi - deformazioni del materiale. In questa fase può accadere che le armature raggiungano lo snervamento: si osserva in tal caso una rapida crescita della curvatura per piccoli incrementi del momento, sino a quando un certo punto la trave si rompe a causa del raggiungimento della deformazione limite del calcestruzzo al lembo superiore (stato III - verifiche agli stati limite ultimi).
Calcolo elastico Sezione interamente reagente: Stadio I
Nel caso dello stadio I, riferito a una sezione a doppia armatura, ai fini del calcolo elastico basta omogeneizzare le aree d'armatura con il coefficiente ed utilizzare la conseguente caratteristica (momento d'inerzia ideale) per avere
e di trazione e di compressione
Il momento d'inerzia ideale si ottiene attraverso le formule di geometria delle masse:
Sezione parzializzata: Stadio II
Nella fase di fessurazione si analizza innanzitutto il comportamento di una sezione ad armatura semplice, partendo dalle ipotesi di linearità delle deformazioni, ipotesi di congruenza, ipotesi di parzializzazione della sezione ed infine ipotesi di elasticità che consenta di considerare ancora linearità delle tensioni.
Al di sotto dell'asse neutro il calcestruzzo non lavora. Indicata con la risultante delle compressioni e con la risultante delle trazioni, l'equilibrio della sezione si ottiene con la relazione
Si assumono positive le tensioni di trazione per entrambi i materiali e scrivendo la similitudine che lega i valori e nel diagramma delle tensioni si ottiene
che sostituita nella relazione d'equilibrio della sezione fornisce:
Sviluppando l'equazione in x, risulta che, banalmente, per valori diversi dallo 0 si ha
la cui soluzione fornisce la posizione dell'asse neutro, escludendo ovviamente la radice negativa perché priva di significato fisico:
La verifica delle tensioni generate dal momento flettente di cui è soggetta la trave inflessa si ottiene dall'equilibrio alla rotazione che pone in eguaglianza la coppia interna con la sollecitazione. Con riferimento al centro delle azioni di trazione si scrive che con braccio della coppia interna, e con con riferimento al centro delle tensioni di compressione, si ottiene
di compressione e di trazione.
Introducendo il rapporto elastico d'armatura le formule che definiscono la sezione reagente diventano
e
dove la posizione x dell'asse neutro ed il braccio z della coppia interna sono forniti da grandezze adimensionali e in funzione dell'altezza utile d.
Tutto ciò nel caso di sezione ad armatura semplice, ovvero con armatura disposta solo nella zona tesa della sezione. Nel caso di una sezione doppia si dispone analogamente ponendo l'area totale dell'armatura ed il rapporto elastico di armatura totale ottenendo che la posizione dell'asse neutro sia
con
Conseguentemente si ha:
con
Calcolo a rottura
Armatura limite: Stadio III
Tale stadio del comportamento flessionale, come si è detto, rappresenta il raggiungimento della deformazioni di rottura di uno dei due materiali sia essa la dilatazione convenzionale dell'armatura tesa o sia la contrazione al bordo del calcestruzzo compresso.
Nel caso di sezione rettangolare con armatura semplice si evidenziano tre situazioni: campo "a": rottura dell'armatura metallica con con calcestruzzo non al limite ultimo ; campo "b": rottura del calcestruzzo nel bordo compresso con armatura metallica già snervata ; campo "c": rottura del calcestruzzo nel bordo compresso con armatura metallica ancora nella fase elastica ;
Nel campo "b" l'equilibrio interno delle risultanti alla traslazione si ottiene nel seguente modo:
Le situazioni estreme nei valori limite sono caratterizzate nel seguente modo:
campo "a": campo "c":
Nel caso limite "a", è un valore che resta indipendente dal tipo di acciaio utilizzato, mentre nel caso limite "b" il valore dipende dallo snervamento che varia con il tipo di acciaio impiegato.
Le corrispondenti percentuali meccaniche e forniscono le cosiddette armature limite ovvero quei valori che separano i campi: Campo "a" delle deboli armature; Campo "b" delle medie armature; Campo "c" delle forti armature.
In condizioni d'equilibrio il calcolo della resistenza flessionale , per la verifica nei confronti dello sforzo agente, allo stato limite ultimo della sezione deve verificare la relazione:
Campo a: posto , ci si trova nel campo delle deboli armature e scrivendo la similitudine dedotta dal diagramma delle deformazioni si ha
La contrazione del lembo compresso del calcestruzzo in termini di posizione dell'asse neutro vale
Dato il valore e con e utilizzando le espressioni per i coefficienti
l'equilibrio alla traslazione si ottiene attraverso la relazione
Il momento resistente vale quindi:
Campo b: l'equilibrio alla traslazione porta all'individuazione dell'asse neutro e verificato che risulti
il momento resistente si ottiene dall'equilibrio alla rotazione
con
È significativo che il rapporto meccanico d'armatura, calcolato in base alla geometria della sezione ed alla resistenza dei materiali pari a
che corrisponde all'estensione del diagramma costante di compressione del modello "stress block":
Tale modello assume una zona ridotta di calcestruzzo compresso sollecitata uniformemente e risulta, ponendo la risultante a metà altezza compressa, ancora il braccio
Campo c: nel campo delle forti armature l'acciaio si trova in fase elastica con quindi posto
Scrivendo la tensione dell'acciaio come
l'equilibrio alla traslazione si ottiene attraverso la relazione che fornisce la posizione dell'asse neutro
L'equilibrio alla rotazione, poi considerato rispetto al centro delle rotazioni, vale
Tuttavia sezioni fortemente armate calcolate con relazioni hanno un comportamento fragile che di regola è bene evitare. Qualora non sia possibile aumentare le dimensioni del calcestruzzo è opportuno posizionare le armature in zona compressa, costituendo una sezione a doppia armatura, la cui resistenza si calcola deducendo prima la parte reagente compressa del calcestruzzo dall'equilibrio alla traslazione.
Ipotizzando di trovarsi nel campo "b" (armatura compressa anch'essa snervata) si ha:
L'asse neutro, , si alza allontanando la situazione limite dalle forti armature e verificata la condizione di snervamento delle armature
e
si deduce, dall'equilibrio rotazionale della sezione, il momento resistente:
Calcolo a taglio
Nel caso di sollecitazione di taglio le travi in calcestruzzo armato evidenziano un comportamento che si discosta dalla teoria della trave di de Saint Venant e per questo motivo si richiameranno modelli differenti, senza contare che le azioni taglianti sono strettamente legate alle azioni flettenti, quindi occorre un modello che tenga conto di questo funzionamento combinato.
Come per il momento flettente si ipotizza un iniziale stato in cui permane il comportamento elastico e si inizia ad applicare la formula di Jourawski. Se la sezione si trova nello stadio I, riguardo al momento flettente, si dedurrà un diagramma il cui valore massimo corrisponderà alla corda baricentrica e varrà
Nel caso di corrispondenza con lo stadio II, la stessa formula di Jourawski riferita alla sezione reagente parzializzata porta a diagrammi in cui la tensione tangenziale rimane costante in tutta la sezione parzializzata (fessurata) e pari al valore massimo sopracitato.
Questa trattazione tuttavia non tiene conto di un elemento fondamentale, e cioè che se si trascura la resistenza a trazione del calcestruzzo (ipotesi fatta nella trattazione del caso della sollecitazione flessionale) non può esserci tensione tangenziale, quindi occorre considerare il comportamento di una trave soggetta a intensità di carico via via crescenti.