+Alcuni oggetti studiati in algebra lineareVettoriSpazi vettorialiTrasformazioni lineariSistemi di equazioni lineariMatriciAutovettori e autovaloriQuadricheTensori Lalgebra lineare è la branca della matematica che si occupa dello studio dei vettori, spazi vettoriali (o spazi lineari), trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari. Gli spazi vettoriali sono un tema centrale nella matematica moderna; l'algebra lineare è usata ampiamente nell'algebra astratta, nella geometria e nell'analisi funzionale. L'algebra lineare ha inoltre una rappresentazione concreta nella geometria analitica.
Con l'algebra lineare si studiano completamente tutti i fenomeni fisici "lineari", cioè quelli in cui intuitivamente non entrano in gioco distorsioni, turbolenze e fenomeni caotici in generale. Anche fenomeni più complessi, non solo della fisica ma anche delle scienze naturali e sociali, possono essere studiati e ricondotti con le dovute approssimazioni a un modello lineare.
Storia
La storia dell'algebra lineare moderna inizia fra il 1843 e il 1844. Nel 1843 William Rowan Hamilton (che ha introdotto il termine vettore) inventò i quaternioni. Nel 1844 Hermann Grassmann pubblicò il suo libro Die lineale Ausdehnungslehre. Arthur Cayley introdusse le matrici (2×2), una delle idee fondamentali dell'algebra lineare, nel 1857.
Introduzione elementare
L'algebra lineare ha le sue origini nello studio dei vettori negli spazi cartesiani a due e a tre dimensioni. Un vettore, in questo caso, è un segmento orientato, caratterizzato da lunghezza (o magnitudine), direzione e verso. I vettori possono essere usati per rappresentare determinate entità fisiche come le forze, e possono essere sommati fra loro e moltiplicati per uno scalare, formando quindi il primo esempio di spazio vettoriale sui reali.
L'algebra lineare moderna è stata estesa per comprendere spazi di dimensione arbitraria o infinita. Uno spazio vettoriale di dimensione n è chiamato n-spazio. Molti dei risultati utili nel 2-spazio e nel 3-spazio possono essere estesi agli spazi di dimensione maggiore. Anche se molte persone non sanno visualizzare facilmente i vettori negli n-spazi, questi vettori o n-uple sono utili per rappresentare dati. Poiché i vettori, come n-uple, sono liste ordinate di n componenti, molte persone comprendono e manipolano i dati efficientemente in questa struttura. Ad esempio, in economia, si può creare e usare vettori 8-dimensionali (ottuple) per rappresentare il Prodotto Interno Lordo di 8 stati. Si può decidere di visualizzare il PIL di 8 stati per un particolare anno, ad esempio (Italia, Stati Uniti, Gran Bretagna, Francia, Germania, Spagna, Giappone, Australia), usando un vettore (v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8) dove il PIL di ogni stato è nella sua rispettiva posizione.
Uno spazio vettoriale è definito sopra un campo, come il campo dei numeri reali o il campo dei numeri complessi. Gli operatori lineari mappano elementi da uno spazio vettoriale su un altro (o su sé stesso), in modo che sia mantenuta la compatibilità con l'addizione e la moltiplicazione scalare definiti negli spazi vettoriali. L'insieme di tutte queste trasformazioni è anch'esso uno spazio vettoriale. Se è fissata una base per uno spazio vettoriale, ogni trasformazione lineare può essere rappresentata da una tabella chiamata matrice. Nell'algebra lineare si studiano quindi le proprietà delle matrici, e gli algoritmi per calcolare delle quantità importanti che le caratterizzano, quali il rango, il determinante e l'insieme dei suoi autovalori.
Uno spazio vettoriale (o spazio lineare), come concetto puramente astratto sul quale si provano teoremi, è parte dell'algebra astratta, e ben integrato in questo campo: alcuni oggetti algebrici correlati ad esempio sono l'anello delle mappe lineari da uno spazio vettoriale in sé, o il gruppo delle mappe lineari (o matrici) invertibili. L'algebra lineare gioca anche un ruolo importante in analisi, specialmente nella descrizione delle derivate di ordine superiore nell'analisi vettoriale e nella risoluzione delle equazioni differenziali.
Concludendo, si può dire semplicemente che i problemi lineari della matematica - quelli che esibiscono "linearità" nel loro comportamento - sono quelli più facili da risolvere, e che i problemi "non lineari" vengono spesso studiati approssimandoli con situazioni lineari. Ad esempio nell'analisi, la derivata è un primo tentativo di approssimazione lineare di una funzione. La differenza rispetto ai problemi non lineari è molto importante in pratica: il metodo generale di trovare una formulazione lineare di un problema, in termini di algebra lineare, e risolverlo, se necessario con calcoli matriciali, è uno dei metodi più generali applicabili in matematica.
Nozioni di base Spazio vettoriale
La nozione più importante in algebra lineare è quella di spazio vettoriale. Uno spazio vettoriale è un insieme di elementi, detti vettori, aventi delle proprietà che li rendono simili ai vettori applicati in un punto fissato (lorigine) del piano o dello spazio.
Più precisamente, sono definite su un paio di operazioni binarie:
due vettori e possono essere sommati, dando così luogo ad un nuovo vettore . Le proprietà della somma vettoriale sono associatività, commutatività, esistenza dell'elemento neutro, esistenza dell'elemento inverso; un vettore può essere riscalato, cioè moltiplicato per uno scalare, cioè un numero , dando così luogo ad un nuovo vettore . le proprietà della moltiplicazione per scalare sono associatività, esistenza di un neutro; la somma vettoriale è distributiva rispetto al prodotto, mentre il prodotto è distributivo rispetto alla somma.
Il numero (detto scalare) appartiene ad un campo che viene fissato fin dall'inizio: questo può essere ad esempio il campo dei numeri reali o il campo dei numeri complessi.
Il piano cartesiano è l'esempio fondamentale di spazio vettoriale. Ogni punto del piano è in realtà identificato univocamente come una coppia di numeri reali. L'origine è il punto . Il punto può essere interpretato alternativamente come punto del piano o come vettore applicato nell'origine che parte da e arriva in .
Analogamente lo spazio cartesiano è formato da triple di punti . Più in generale, le ennuple di numeri reali
formano uno spazio vettoriale che viene indicato con . Ancora più in generale, si può sostituire con un altro campo e ottenere quindi lo spazio vettoriale .
Applicazioni lineari
Un'applicazione lineare è una funzione fra due spazi vettoriali
che sia compatibile con le operazioni definite su entrambi. Devono cioè valere le proprietà seguenti:
per ogni coppia di vettori in e ogni scalare . I termini "applicazione", "funzione", "trasformazione", "mappa" e "omomorfismo" sono in questo contesto tutti sinonimi. Il termine "lineare" sta a indicare la compatibilità con le operazioni. Un'applicazione lineare manda necessariamente l'origine (di ) nell'origine (di ):
Gli spazi e possono coincidere. In questo caso l'applicazione è più propriamente una trasformazione di , ovvero una funzione che sposta i punti di , chiamata anche endomorfismo. Una trasformazione di deve necessariamente tenere fissa l'origine O.
Molte trasformazioni del piano cartesiano o dello spazio che tengono fissa l'origine O sono lineari: tra queste, le rotazioni (intorno a O), le riflessioni rispetto ad una retta o un piano (passante per O), le omotetie (centrate in O) e le proiezioni (su una retta o piano passante per O).
Le applicazioni lineari compaiono in contesti molto differenti. Ad esempio, il funzionale
che associa ad una funzione il suo integrale è un'applicazione lineare
dallo spazio delle funzioni continue a valori reali in .
Basi e dimensione
Un punto ha dimensione zero, una retta ha dimensione uno, un piano ha dimensione due e uno spazio ha dimensione tre. L'algebra lineare permette di definire e trattare in modo rigoroso spazi di dimensione superiore alla terza. Lo spazio fondamentale di dimensione è lo spazio vettoriale delle ennuple, indicato con . Per , questo è l'usuale piano cartesiano.
Ogni spazio vettoriale ha una dimensione. Questa è definita in modo algebrico, come il numero di elementi in una base per : una base è un insieme di vettori che funge da sistema di riferimento per . Rigorosamente, una base è una successione
di vettori indipendenti che generano lo spazio . Uno spazio vettoriale può avere anche dimensione infinita: gli spazi vettoriali di dimensione infinita sono spesso più complicati, e molti teoremi di algebra lineare richiedono come ipotesi che abbia dimensione finita.
Le nozioni di base e dimensione si applicano a (che ha dimensione ) e ai sottospazi ivi contenuti. Essendo però definite in modo puramente algebrico, si applicano anche in contesti molto differenti: ad esempio, le matrici formano uno spazio vettoriale di dimensione . I polinomi in una variabile formano uno spazio vettoriale di dimensione infinita: restringendo però il grado dei polinomi ad un certo valore massimo si ottiene uno spazio vettoriale di dimensione .
Prodotto scalare
Due vettori e di uno spazio vettoriale possono essere sommati: il risultato è un vettore . Inoltre un vettore e uno scalare possono essere moltiplicati: il risultato è un vettore . Nella definizione di spazio vettoriale non è però prevista un'operazione di prodotto fra due vettori.
In alcuni contesti è però utile aggiungere un'ulteriore operazione binaria fra vettori, che si comporti come un prodotto. Il risultato di questo prodotto può essere a sua volta un vettore o uno scalare. Nel primo caso, questa operazione si chiama prodotto vettoriale, e nel secondo prodotto scalare. L'operazione di prodotto vettoriale risulta però interessante solo in dimensione tre, mentre i prodotti scalari esistono (e sono utili) in tutte le dimensioni: per questo motivo questi ultimi sono molto più studiati.
Nella definizione di spazio vettoriale non è inoltre neppure prevista una nozione di lunghezza (equivalentemente, norma) per i vettori, né di angolo fra due di questi. Entrambe le nozioni di lunghezza e angolo risultano però definite se è fissato un opportuno prodotto scalare.Più precisamente, questo accade per uno spazio vettoriale reale dotato di un prodotto scalare definito positivo.
Applicazioni Sistemi lineari
Un sistema di equazioni lineari è il dato di un certo numero di equazioni lineari in alcune variabili . Usando le matrici e la moltiplicazione riga per colonne, un sistema può essere scritto in modo stringato nel modo seguente:
In questa espressione è una matrice , è il vettore delle variabili , ..., e è un altro vettore formato da costanti.
L'algebra lineare fornisce molti algoritmi per determinare le soluzioni di un sistema lineare. Il legame fra i sistemi di equazioni e l'algebra lineare sta nel fatto che la matrice può essere interpretata come applicazione lineare da in : secondo questa interpretazione, le soluzioni sono esattamente le controimmagini di .
Il teorema di Rouché-Capelli fornisce un metodo per contare le soluzioni, senza necessariamente determinarle completamente.Lo spazio delle soluzioni di un sistema è uno spazio affine, ed il teorema di Rouché-Capelli fornisce un metodo per calcolarne la dimensione. Il numero di soluzioni può essere solo 0, 1 o infinito. Nel caso in cui il sistema sia quadrato e abbia una sola soluzione, questa può essere scritta esplicitamente usando la regola di Cramer. Però tale soluzione teorica è praticamente utilizzabile solo per risolvere sistemi molto piccoli.Problemi computazionali che limitano l'uso della Regola di Cramer Mentre i metodi di eliminazione (es. Gauss) e quelli iterativi (es. Gauss-Seidel) consentono di calcolare effettivamente le soluzioni di un sistema lineare, anche di grandi dimensioni.
Geometria analitica