Definizione rigorosa del Pi greco in geometria euclidea

Nella geometria euclidea la costante pi greco () è definita come il rapporto fra la misura della lunghezza della circonferenza e la misura della lunghezza del diametro di uno stesso cerchio. Affinché questa definizione sia univoca, è necessario dimostrare che è indipendente dal cerchio scelto. Da alcuni teoremi classici di Euclide e Archimede segue che, in terminologia moderna, pi greco è una costante, e inoltre che pi greco è uguale al rapporto fra l'area di un cerchio e il quadrato del suo raggio.

In questa voce verrà esposto in dettaglio il ragionamento che permette di definire il pi greco e di dimostrarne l'unicità; prima si descriverà una procedura che si limita a far uso degli assiomi e delle conoscenze geometriche a disposizione di Euclide e Archimede poi, in un secondo momento, si mostrerà una derivazione più rigorosa basata sul moderno (1872) assioma di Dedekind. Per la comprensione di questa voce sono comunque necessarie alcune conoscenze pregresse di geometria euclidea come, ad esempio, il teorema di Pitagora, il teorema di Talete e i criteri di similitudine tra triangoli.

Dimostrazione di Euclide-Archimede Assiomi e teoremi necessari Questa dimostrazione è basata sugli assiomi e sulle proposizioni contenuti negli Elementi di Euclide, nel primo libro Sulla Sfera ed il Cilindro e nel libro Sulla Misura del Cerchio di Archimede. Punto di partenza fondamentale per le dimostrazioni che verranno esposte è l'assioma di Eudosso, corrispondente alla Definizione 4 del V libro degli Elementi. Assioma di Eudosso: Si dice che hanno rapporto due grandezze le quali possono, se moltiplicate, superarsi reciprocamente. L'assioma ci dice quindi che date due grandezze e tali che , è possibile trovare un tale che .

L'assioma di Eudosso permette allora di dimostrare l'importantissimo teorema detto anche metodo di esaustione, corrispondente alla Proposizione 1 del X libro degli Elementi: Teorema 1 (metodo di esaustione): Date due grandezze, se dalla maggiore viene sottratta una grandezza maggiore della metà e da quello che resta una grandezza maggiore della sua metà, e ripetendo continuamente questo procedimento, allora resterà una grandezza più piccola della minore data. Ad esempio, con riferimento alla figura, date le grandezze , allora sottraendo da prima la grandezza e poi la grandezza , alla fine resta .

A questo punto Euclide può utilizzare il metodo di esaustione per dimostrare una fondamentale proposizione (Proposizione 2 del XII libro degli Elementi) sulle aree dei cerchi, ma per questo è prima necessario dimostrare un'altra proposizione (Proposizione 1 del XII libro degli Elementi) sulle aree dei poligoni iscritti all'interno di una circonferenza; la Proposizione 2 fa infatti uso fondamentale della Proposizione 1, corrispondente al seguente Teorema 2 (Elementi, XII, 1): Le aree di due poligoni simili iscritti in due distinte circonferenze stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi raggi. Ovvero con riferimento alla figura, dove e sono i diametri delle due circonferenze e e sono rispettivamente le aree dei poligoni simili e , si ha .

Il Teorema 1 è fondamentale per poter dimostrare il seguente: Teorema 3 (Elementi, XII, 2): Le aree di due cerchi stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi raggi.

Siano e le aree dei cerchi e , e i loro diametri ed , i loro raggi. Allora si vuole provare che . Supponiamo allora che i quadrati di ed non stiano tra loro come e , allora dove è una qualche area che potrebbe essere maggiore oppure minore di . Trattiamo separatamente questi due casi.

Sia prima . Si iscriva il quadrato nel cerchio . Si può dimostrare che l'area di questo quadrato è maggiore di . Infatti, se per i punti tracciamo le tangenti al cerchio, allora si vede immediatamente che il quadrato ha area pari alla metà di quella del quadrato circoscritto al cerchio, e il cerchio ha un'area minore del quadrato circoscritto, quindi l'area del quadrato iscritto è maggiore di .

Si bisechino ora gli archi di circonferenza , ottenendo i punti . Si congiungano . Si può dimostrare che l'area del triangolo è maggiore della metà dell'area del corrispondente segmento circolare. Infatti tracciando la tangente al cerchio in e costruendo il rettangolo sul lato si vede immediatamente che l'area del triangolo è la metà dell'area del rettangolo costruito; ma questo rettangolo ha area maggiore del corrispondente segmento circolare, quindi l'area del triangolo è maggiore della metà dell'area del segmento circolare.

Bisecando poi gli archi si può continuare iterativamente questo processo in cui, ad ogni iterazione, da ogni segmento circolare si sottrae un triangolo che ha area maggiore della metà dell'area del segmento circolare stesso. Definendo con l'area totale di tutti i segmenti circolari costruiti alla n-esima iterazione, allora per il Teorema 2 (cioè il metodo di esaustione) esisterà tale che . Supponiamo che sia il poligono ottenuto alla -esima iterazione; si costruisca allora nel cerchio il poligono simile . Allora per il Teorema 2: . Ma , quindi dovrebbe essere , però per costruzione risulta . Quindi non può essere vera. Analogamente si dimostra che, se , non può essere .

Si supponga allora . Dato che per ipotesi , esisterà una certa area tale che , ma dato che , allora sarà . Risulta quindi che con , ma questo è stato più sopra dimostrato essere impossibile, quindi non può essere . Analogamente si dimostra che, se , allora non può essere .

Quindi, mettendo tutto insieme, deve necessariamente valere , ovvero le aree di due cerchi stanno tra loro come i quadrati dei rispettivi raggi; il Teorema 3 è quindi dimostrato.

Per poter ora passare al calcolo della circonferenza è necessario prima premettere una definizione e due assiomi che Archimede enuncia nel primo libro Sulla Sfera ed il Cilindro. A rigore, gli assiomi di Archimede non sono una definizione della lunghezza di una curva, ma piuttosto soltanto l'enunciazione di alcune proprietà che lasciano di fatto all'intuizione la definizione vera e propria di lunghezza. Più avanti queste nozioni verranno ridefinite utilizzando l'assioma di Dedekind.

Definizione (Sulla Sfera ed il Cilindro I, definizione 2): si applica la definizione di concava dalla stessa parte ad una linea tale che, se vengono presi due punti qualsiasi su di essa, o i segmenti che collegano questi punti giacciono su un solo lato della linea data, oppure alcuni giacciono su un solo lato mentre altri giacciono sulla linea data stessa, ma nessun segmento giace sull'altro lato.

In figura sono riportate tre curve. Le prime due soddisfano la definizione, infatti tutti i segmenti che collegano due punti qualsiasi giacciono interamente da una stessa parte della curva, quindi tali curve sono concave dalla stessa parte. Nella terza curva invece alcuni segmenti che collegano due punti qualsiasi non giacciono interamente dallo stesso lato della curva, che quindi non è concava dalla stessa parte.

Archimede enuncia poi due assiomi sulla lunghezza delle curve.

Assioma 1 di Archimede sulla lunghezza delle curve: Di tutte le linee che hanno gli stessi estremi, la linea retta è la più breve. Assioma 2 di Archimede sulla lunghezza delle curve: Delle altre linee in un piano e che hanno gli stessi estremi, siano due linee differenti entrambe concave dalla stessa parte, delle quali una sia interamente contenuta tra l'altra linea e la linea retta con le stesse estremità, oppure sia parzialmente contenuta da e parzialmente coincidente con l'altra linea; la linea contenuta ha lunghezza L minore dell'altra.

In figura sono mostrati alcuni esempi di curve che soddisfano le condizioni degli assiomi di Archimede per la lunghezza . In tutti i casi risulta .

Dall'assioma 1 di Archimede sulla lunghezza delle curve segue immediatamente il seguente: Teorema 4: Il perimetro di un poligono iscritto in una circonferenza è minore della lunghezza della circonferenza. Infatti ogni lato del poligono è, per l'assioma 1, minore della parte di circonferenza tagliata da esso.

Si può poi dimostrare anche l'ulteriore Teorema 5 (Sulla Sfera ed il Cilindro I, proposizione 1): Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, il perimetro del poligono è maggiore della lunghezza della circonferenza.

Ci sono ora tutte le premesse per dimostrare un altro fondamentale teorema, corrispondente alla Proposizione 1 del libro Sulla Misura del Cerchio di Archimede: Teorema 6 (Sulla Misura del Cerchio, proposizione 1): L'area di un qualunque cerchio è equivalente a quella di un triangolo rettangolo nel quale uno dei cateti è uguale al raggio del cerchio e l'altro cateto uguale alla circonferenza . Ovvero Sia il cerchio dato e il triangolo descritto nell'enunciato del Teorema 6. Allora, se l'area del cerchio non fosse equivalente a quella di , dovrebbe essere minore oppure maggiore.

Supponiamo prima che sia Si iscriva nella circonferenza il quadrato , si bisechino gli archi poi si bisechino (se necessario) le rispettive metà, e così via fino a che i lati del poligono iscritto, i cui vertici coincidono con i punti di bisezione, determinino dei segmenti circolari la somma delle cui aree sia minore di . Questo è sempre possibile grazie al Teorema 1, così come già è stato esposto nella dimostrazione del Teorema 3. L'area del poligono iscritto è quindi maggiore di quella di . Sia un lato di questo poligono, e la perpendicolare ad esso dal centro del cerchio. Allora è minore del raggio e pertanto minore di uno dei cateti di . Anche il perimetro del poligono è minore della circonferenza, e quindi minore dell'altro cateto di . Quindi l'area del poligono deve essere minore di . Abbiamo così ottenuto una contraddizione (area del poligono iscritto contemporaneamente maggiore e minore di ), quindi l'ipotesi non può essere vera.

Sia allora Si circoscriva un quadrato al cerchio e due lati adiacenti con vertice siano tangenti al cerchio nei punti e . Si bisechi l'arco e si tracci la tengente nel punto di bisezione. Sia il segmento tangente ad . Allora l'angolo è retto; ne segue quindi che e . Ma dato che e sono due triangoli con la stessa altezza e basi , allora l'area di è maggiore dell'area di . Da questo segue immediatamente che l'area del triangolo è maggiore della metà dell'area del poligono .

Similmente, se l'arco viene bisecato e ne viene tracciata la tangente nel punto di bisezione, di nuovo dall'area viene sottratta un'area maggiore della metà. Continuando questo processo quindi, per il Teorema 1, si arriva ad un poligono circoscritto tale che lo spazio compreso tra esso e la circonferenza sia minore di , ovvero il poligono circoscritto ha area minore di . Il poligono ha apotema pari al raggio e quindi pari ad un cateto di ; ma il suo perimetro è maggiore della circonferenza del cerchio, quindi maggiore dell'altro cateto di . Allora l'area del poligono è maggiore di . Abbiamo così ottenuto un'altra contraddizione (area del poligono circoscritto contemporaneamente maggiore e minore di ), quindi l'ipotesi non può essere vera.

Riassumendo, non potendo essere né , necessariamente risulta .

Definizione e unicità del Pi greco

Tutta la teoria finora sviluppata permette di definire il pi greco e di dimostrarne l'unicità. Definizione del Pi greco: Dato un cerchio di circonferenza e raggio , si definisce Per il momento si è utilizzato il pedice "C" perché, a priori, non si conosce se il valore del pi greco dipenda dal cerchio dato. Ma comunque subito enunciamo e dimostriamo il seguente: Teorema 7 di unicità del Pi greco: Date due qualsiasi circonferenze e di raggi e , allora risulta sempre , ovvero . Quindi il pi greco è lo stesso per tutti i cerchi. Infatti, siano e le aree dei due cerchi arbitrariamente scelti, allora per il Teorema 3 risulta , mentre per il Teorema 6 . Segue allora che .

Discussione e ridefinizione moderna degli assiomi L'assioma di Dedekind