In matematica, una orbita omoclina è una traiettoria di un flusso di un sistema dinamico che unisce un punto di equilibrio a sella a se stesso. Più precisamente, una orbita omoclina si trova nell'intersezione della varietà stabile e della varietà instabile di un punto di equilibrio. Orbite omocline e punti omoclinici sono definiti nello stesso modo per le funzioni ricorsive, come intersezione dell'insieme stabile e di quello instabile di un qualche punto fisso o punto periodico del sistema.
Si consideri il sistema dinamico continuo descritto dall'equazione differenziale ordinaria:
Supponendo che ci sia un punto di equilibrio a , allora una soluzione è una orbita omoclina se:
Se lo spazio delle fasi ha tre o più dimensioni, allora è importante considerare la topologia della varietà instabile del punto di sella. Le figure mostrano questi due casi. La prima, quando la varietà instabile è topologicamente un cilindro e l'orbita omoclina è detta orientata, e la seconda, dove la varietà instabile è topologicamente un Nastro di Möbius, in questo caso l'orbita omoclina è chiamata twistata (twisted).
Si ha anche la nozione di orbita omoclina quando si considera in sistema dinamico discreto. In questo caso, se è un diffeomorfismo della varietà , si dice che è un punto omoclinico se ha stesso passato e futuro - più precisamente se esiste un punto fisso (o periodico) tale che:
Bibliografia
John Guckenheimer, Philip Holmes; Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields, Applied Mathematical Sciences Vol. 42, Springer
Voci correlate Biforcazione omoclina Orbita (matematica) Orbita eteroclina Varietà stabile
Altri progetti
Collegamenti esterni Orbita omoclina nella mappa di Henon con applet Java e commenti
omoclina