Il problema di Keplero nella relatività generale comporta la risoluzione del moto di due corpi sferici che interagiscono tra di loro per mezzo della gravitazione, come descritto dalla teoria della relatività generale.
In genere, e in questo articolo, un corpo viene ipotizzato avente una massa trascurabile rispetto alla massa di un altro corpo; questa è una buona approssimazione nel caso di un pianeta che ruota attorno al Sole, o di un fotone che passa da una stella. In tali casi, si può supporre che solo il corpo più pesante contribuisce alla curvatura dello spazio-tempo e che sia fisso nello spazio. Questo spazio-tempo curvo è descritto dalla soluzione di Schwarzschild per le equazioni di Einstein nel vuoto della relatività generale. Il moto del corpo più leggero (successivamente sarà chiamato "particella") è definito per mezzo delle geodetiche dello spazio-tempo della soluzione di Schwarzschild. Viene qui assunto che il corpo più leggero sia simile a un punto in modo che le forze di marea possano essere ignorate.
Queste soluzioni geodetiche giustificano la precessione anomala del pianeta Mercurio, che è la prova principale a sostegno della teoria della relatività generale. Esse descrivono anche la deflessione della luce in un campo gravitazionale, un'altra previsione notoriamente utilizzata come prova per la relatività generale. Il decadimento orbitale dovuto all'emissione di radiazione gravitazionale non viene definito dalla soluzione di Schwarzschild.
Contesto storico e comprensione intuitiva
Nel 1859, Urbain Le Verrier scoprì che la precessione orbitale del pianeta Mercurio non era abbastanza rispetto a quella che avrebbe dovuto essere; l'ellisse della sua orbita ruotava (in precessione) leggermente più veloce di quanto previsto dalla teoria tradizionale della gravità newtoniana, anche dopo aver preso in considerazione tutti gli effetti degli altri pianeti. L'effetto è piccolo (grosso modo 43 arcosecondi di rotazione per secolo), ma ben al di sopra dell'errore di misurazione (pressappoco 0,1 arcsecondi per secolo). Le Verrier comprese l'importanza della sua scoperta immediatamente, sfidando gli astronomi e i fisici a metterla in dubbio. Sono state proposte diverse spiegazioni classiche, come la polvere interplanetaria, lo schiacciamento polare inosservato del Sole, una luna di Mercurio ancora non scoperta, o un nuovo pianeta chiamato Vulcano. Dopo che queste spiegazioni vennero ritenute di poco valore, alcuni fisici furono tentati dall'ipotesi più radicale, considerando sbagliata la legge del quadrato inverso della gravitazione di Newton. Per esempio, alcuni fisici proposero una legge di potenza con un esponente che fosse leggermente diverso da 2.
Altri ancora hanno sostenuto che la legge di Newton dovrebbe essere integrata con un potenziale dipendente dalla velocità. Tuttavia, questo implicava un conflitto con la dinamica celeste newtoniana. Nel suo trattato sulla meccanica celeste, Laplace aveva dimostrato che, se l'influenza gravitazionale non agisse istantaneamente, allora il moto dei pianeti stessi non conserverebbe esattamente la quantità di moto (parte del momento deve quindi essere attribuita al mediatore dell'Interazione gravitazionale, analogamente al momento che si attribuisce al mediatore della interazione elettromagnetica). Come si è osservato dal punto di vista newtoniano, se l'influenza gravitazionale si propaga a una velocità finita, allora in tutti i punti del tempo un pianeta viene attratto in un punto in cui il Sole era qualche tempo prima, e non verso la posizione istantanea del sole. In base all'ipotesi dei fondamenti classici, Laplace aveva dimostrato che se la gravità si propagasse a una velocità dell'ordine della velocità della luce allora il sistema solare sarebbe instabile, e non esistere per molto tempo. L'osservazione sul fatto che il sistema solare è vecchio permette di porre un limite inferiore alla velocità gravitazionale che è di molti ordini di grandezza più veloce della velocità della luce.Pais 1982 La valutazione di Laplace per la velocità gravitazionale non è esatta, perché in una teoria di campo che rispetti il principio di relatività, l'attrazione di una carica puntiforme che si muove a una velocità costante è verso la posizione istantanea estrapolata, non verso la posizione apparente che sembra occupi quando si osservaLe conferenze di Feynman sulla Fisica, vol. II, offrono una trattazione accurata del problema analogo nell'elettromagnetismo. Feynman dimostra che, per una carica in moto, il campo non radiativo è un'attrazione/repulsione, non verso la posizione apparente delle particelle, ma verso la posizione estrapolata nell'ipotesi che la particella prosegua in linea retta e a velocità costante. Questa è una proprietà notevole dei potenziali di Liénard-Wiechert. Presumibilmente lo stesso vale per la gravità linearizzata..
Per evitare questi problemi, tra il 1870 e il 1900 molti scienziati utilizzavano le leggi dell'elettrodinamica di Wilhelm Eduard Weber, Carl Friedrich Gauß, Bernhard Riemann per produrre orbite stabili e spiegare lo spostamento del perielio dell'orbita di Mercurio. Nel 1890 Lévy riuscì a farlo combinando le leggi di Weber e di Riemann, per cui la velocità gravitazionale è nella sua teoria uguale a quella della luce. E in un altro tentativo Paul Gerber (1898) riuscì ugualmente a ottenere la formula corretta per lo spostamento del perielio (la quale era identica a quella usata più tardi da Einstein). Tuttavia, dato che le leggi fondamentali di Weber e di altri erano errate (per esempio, la legge di Weber venne rimpiazzata dalla teoria di Maxwell), quelle ipotesi vennero rifiutate.Roseveare 1982 Un altro tentativo fatto da Hendrik Lorentz (1900), che aveva già utilizzato la teoria di Maxwell, produsse un spostamento del perielio troppo basso.
Intorno al 1904–1905, i lavori di Hendrik Lorentz, Henri Poincaré e infine la teoria ristretta della relatività di Albert Einstein, escludevano la possibilità di propagazione di qualsiasi effetto più veloce della velocità della luce. Ne consegue che la legge gravitazionale di Newton avrebbe dovuto essere sostituita con un'altra legge, compatibile con il principio di relatività, nonostante il limite newtoniano restasse valido nelle circostanze in cui gli effetti relativistici fossero trascurabili. Tali tentativi sono stati fatti da Henri Poincaré (1905), Hermann Minkowski (1907) e Arnold Sommerfeld (1910).Walter 2007 Nel 1907 Einstein arrivò a concludere che per raggiungere questo obiettivo fosse necessaria un erede della relatività ristretta. Dal 1907 al 1915, Einstein tenta gradualmente di spingersi verso una nuova teoria, usando il suo principio di equivalenza come concetto chiave per raggiungere lo scopo. Secondo questo principio, un campo gravitazionale uniforme agisce allo stesso modo su tutto quanto vi è all'interno di esso e, di conseguenza, non può essere rilevato da un osservatore in caduta libera. Al contrario, tutti gli effetti gravitazionali locali dovrebbero essere riproducibili in un sistema di riferimento che acceleri in modo lineare, e viceversa. Così, la gravità agisce come una forza fittizia come la forza centrifuga o la forza di Coriolis, risultante da un sistema di riferimento accelerato; tutte le forze fittizie sono proporzionali alla massa inerziale, proprio come la gravità. Per conciliare la gravità con la relatività speciale incorporando il principio di equivalenza, qualcosa deve essere sacrificato; quel qualcosa fu il presupposto classico di lunga data che considerava il nostro spazio soggetto alle leggi della geometria euclidea, per es., il fatto che il teorema di Pitagora sia vero sperimentalmente. Einstein utilizzò una geometria più generale, la pseudo-geometria di Riemann, per consentire la curvatura di spazio e tempo, condizione necessaria per la riconciliazione; dopo otto anni di lavoro (1907–1915), riuscì a scoprire il modo preciso in cui spazio-tempo sarebbero curvi al fine di riprodurre le leggi fisiche osservate in natura, in particolare la gravitazione. La gravità è distinta dalle forze fittizie, centrifughe e di Coriolis, nel senso che la curvatura dello spazio-tempo è considerato come reale fisicamente, mentre le forze fittizie non sono considerate come forze. Le prime vere soluzioni delle sue equazioni di campo spiegavano la precessione anomala di Mercurio prevedendo un'insolita curvatura della luce, la quale venne confermata dopo che la sua teoria venne pubblicata. Queste soluzioni sono spiegate qui di seguito.
Ambito geometrico Nella normale geometria euclidea, i triangoli obbediscono al teorema di Pitagora, il quale stabilisce che la distanza al quadrato tra due punti nello spazio è la somma dei quadrati delle sue componenti perpendicolari
dove , e rappresentano le differenze infinitesimali tra i due punti lungo gli assi , e di un sistema di coordinate cartesiane (aggiungere qui la figura). Ora immaginate un mondo in cui questo non è del tutto vero, un mondo dove la distanza è invece data da
dove , e sono funzioni arbitrarie della posizione. Non è difficile immaginare un siffatto mondo: noi ci viviamo. La superficie del mondo è curvo, e ciò rende vana la possibilità di farne una mappa perfettamente precisa e piana. I sistemi di coordinate non cartesiane descrivono bene questo, per esempio, nelle coordinate sferiche (, , ), la distanza euclidea può essere scritta
Un altro esempio sarebbe un mondo in cui i regoli utilizzati per misurare la lunghezza sarebbero inaffidabili, mutando la loro lunghezza con la loro posizione e anche la loro orientazione. Nel caso più generale, si devono consentire i termini trasversali (cross-terms) quando si calcola la distanza :
dove nove funzioni , costituiscono il tensore metrico, il quale definisce la geometria dello spazio nella geometria di Riemann. Nell'esempio delle coordinate sferiche di cui sopra, non vi sono termini trasversali; le sole componenti del tensore metrico diverse da zero sono , e .
Nella sua teoria ristretta della relatività, Albert Einstein dimostrava che la distanza tra due punti spaziali non è costante, ma dipende dal moto dell'osservatore. Tuttavia, vi è una misura di separazione tra due punti nello spazio-tempo — chiamata "tempo proprio" e indicata con il simbolo — che è invariante; in altre parole, non dipende dal moto dell'osservatore.
la quale può essere scritta con le coordinate sferiche nel seguente modo:
Questa formula è l'estensione naturale del teorema di Pitagora e analogamente regge solo quando non c'è curvatura dello spazio-tempo. Nella relatività generale, comunque, spazio e tempo possono avere curvatura, quindi questa formula della distanza deve essere modificata in una forma più generale:
così come abbiamo generalizzato la formula per misurare la distanza sulla superficie della Terra. La forma esatta della metrica dipende dalla massa gravitante, momento ed energia, come descritta dalle equazioni di campo di Einstein. Einstein sviluppò tali equazioni di campo per soddisfare le leggi della natura allora conosciute ma, ciò nonostante, esse hanno previsto fenomeni mai visti prima (come la curvatura della luce a causa della gravità), confermati in seguito.
Metrica di Schwarzschild Una soluzione per le equazioni di campo di Einstein è la metrica di Schwarzschild, corrispondente al campo gravitazionale di un corpo sfericamente simmetrico, non rotante, senza carica e di massa . La soluzione di Schwarzschild può essere scritta come:
dove: è il tempo proprio (il tempo misurato da un orologio che si muove insieme alla particella) in secondi, è la velocità della luce in metri al secondo, è la coordinata del tempo (misurata da un orologio stazionario all'infinito) in secondi, è la coordinata radiale (circonferenza di un cerchio centrato sulla stella diviso per ) in metri, è la colatitudine (angolo da Nord) in radianti, è la longitudine in radianti, e