Il problema di Monty Hall (o paradosso di Monty Hall) è un famoso problema di teoria della probabilità, legato al gioco a premi statunitense Let's Make a Deal. Prende il nome da quello del conduttore dello show, Monty Hall. Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, poiché la soluzione può apparire controintuitiva, ma non si tratta di una vera antinomia, in quanto non genera contraddizioni logiche.
Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro a una si trova un'automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l'ha ancora aperta, il conduttore dello show – che conosce ciò che si trova dietro ogni porta – apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando all'unica porta restante; cambiare la porta migliora le chance del giocatore di vincere l'automobile, portandole da 1/3 a 2/3.
Storia del problema e sua soluzione Il problema Una famosa formulazione del problema è contenuta in una lettera del 1990 di Craig F. Whitaker, indirizzata alla rubrica di Marilyn vos Savant nel settimanale Parade:
Quella proposta sopra è una formulazione del problema data da Steve Selvin, in una lettera allAmerican Statistician (febbraio 1975). Così impostato, il problema è in realtà una variazione sul tema del gioco a premi originale; Monty Hall in effetti apriva una porta dietro cui si trovava una capra per aumentare la tensione, ma non consentiva ai giocatori di cambiare la propria scelta originale. Come scrisse lo stesso Monty Hall a Selvin:
Marilyn vos Savant risolse il problema correttamente; l'episodio fece un certo scalpore, in quanto diversi accademici non riconobbero la correttezza della soluzione proposta da vos Savant finché questa non la spiegò nel dettaglio in un successivo articolo.
La successiva lettera di Selvin all'''America Statistician (agosto, 1975) battezza il problema come "Problema di Monty Hall".
Un problema essenzialmente identico appare in ogni modo nella rubrica Mathematical Games (sulla rivista Scientific American) di Martin Gardner nel 1959, col nome di "Problema dei tre prigionieri".Gardner, Martin (October 1959a). "Mathematical Games". Scientific American: 180–182. Reprinted in The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and DiversionsGardner, Martin (November 1959b). "Mathematical Games". Scientific American: 188.
Questo problema era stato ideato dal matematico francese Joseph Louis François Bertrand che lo aveva proposto nel suo libro Calcul des Probabilités (1889) ed era noto come il Paradosso delle tre scatole di Bertrand.
Quella che segue, per concludere, è una formulazione del problema priva di ambiguità, con vincoli espliciti concernenti il comportamento del conduttore, presentata da Mueser e Granberg: Dietro ciascuna di tre porte c'è un'automobile o una capra (due capre, un'automobile in tutto); la probabilità che l'automobile si trovi dietro una data porta è identica per tutte le porte; Il giocatore sceglie una delle porte; il suo contenuto non è rivelato; Il conduttore sa ciò che si nasconde dietro ciascuna porta; Il conduttore deve aprire una delle porte non selezionate, e deve offrire al giocatore la possibilità di cambiare la sua scelta; Il conduttore aprirà sempre una porta che nasconde una capra; Cioè, se il giocatore ha scelto una porta che nasconde una capra, il conduttore aprirà la porta che nasconde l'altra capra; Se invece il giocatore ha scelto la porta che nasconde l'automobile, il conduttore sceglie a caso una delle due porte rimanenti; Il conduttore offre al giocatore la possibilità di reclamare ciò che si trova dietro la porta che ha scelto originalmente, o di cambiare, reclamando ciò che si trova dietro la porta rimasta. Le probabilità di vittoria aumentano per il giocatore se cambia la propria scelta?
Soluzione La risposta è: sì, le probabilità di trovare l'automobile raddoppiano. David Morin, Probability, p. 49
La soluzione può essere illustrata come segue. Ci sono tre scenari possibili, ciascuno avente probabilità 1/3: Il giocatore sceglie la capra numero 1. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 2. Cambiando, il giocatore vince l'auto. Il giocatore sceglie la capra numero 2. Il conduttore sceglie l'altra capra, la numero 1. Cambiando, il giocatore vince l'auto. Il giocatore sceglie l'auto. Il conduttore sceglie una capra, non importa quale. Cambiando, il giocatore trova l'altra capra.
Nei primi due scenari, cambiando il giocatore vince l'auto; nel terzo scenario il giocatore che cambia non vince. Dal momento che la strategia "cambiare" porta alla vittoria in due casi su tre, le chance di vittoria adottando la strategia sono 2/3.
Una spiegazione alternativa è considerare che, se si suppone di cambiare porta, il solo caso in cui si perde è quello in cui originariamente si è scelta l'automobile, che ha probabilità pari a 1/3 e quindi quella di vincere è pari 2/3, dovendo essere la somma delle probabilità di tutti gli eventi pari a uno. Cambiando, il raddoppio delle probabilità di vincere rispetto alla situazione iniziale è dovuto al fatto che avendo il conduttore eliminato una capra ciò garantisce che se il giocatore ha scelto inizialmente l'altra porta con la capra vince essendo rimasta solo la porta con l'auto. Invece, prima della eliminazione di una capra, cambiando avrebbe avuto la probabilità di vincere sempre pari a 1/3.
Il problema sarebbe diverso se non ci fosse una scelta iniziale o se il conduttore scegliesse una porta a caso o se il conduttore potesse offrire al giocatore di cambiare a seconda della scelta iniziale del giocatore. Alcune formulazioni del problema, e significativamente quella del settimanale Parade, non escludono esplicitamente queste possibilità; diversi testi di probabilità elementare riportano varianti del problema. Per esempio, se il conduttore offre la possibilità di cambiare solo se il giocatore inizialmente ha scelto l'automobile, le chance di vittoria associate alla strategia "cambiare" sono dello 0%. Nella formulazione proposta nella sezione precedente, il giocatore che cambia ha una probabilità di vittoria pari a 2/3, precisamente perché il conduttore deve offrirgli la possibilità di cambiare e deve rivelare una capra.
Aiuti alla comprensione del problema L'obiezione più comune alla soluzione è fornita dall'idea che, per varie ragioni, il passato possa essere ignorato quando si valutano delle probabilità. Dunque, la scelta della prima porta e il ragionamento del conduttore circa quale porta aprire si possono trascurare; dal momento che si può scegliere tra due porte, la probabilità di scegliere quella giusta dovrebbe essere pari al 50%, indipendentemente che si decida di cambiare o mantenere la porta scelta. In realtà le due porte rimanenti sono diverse perché la prima scelta dal concorrente ha tre possibili risultati casuali: capra o altra capra o auto; la seconda scelta dal conduttore ha due risultati vincolati: auto se il giocatore ha scelto la porta con una capra, capra se il giocatore ha scelto la porta con l'auto. Quindi non possono avere la stessa probabilità. È come se la porta scelta dal conduttore "assorbisse" la probabilità di quella scartata. Perché in effetti, cambiando porta, il giocatore passa effettivamente dal diritto di aprire una porta sola per trovare l'auto, a quella di aprirne due (e quindi ha il doppio di possibilità di vincere); semplicemente le due porte sono aperte per lui dal conduttore che ne scarta una sicuramente perdente e ne lascia una che ha due volte la probabilità, ovverosia il doppio, 2/3 di essere vincente (una possibilità se il giocatore ha scelto la porta con la prima capra e un'altra se il giocatore ha scelto la porta con la seconda capra).
L'errore nel valutare al 50% e 50% è considerare i due eventi, esserci l'auto o non esserci l'auto, come se fossero palline numerate in un sacchetto da cui estrarne una, in cui basta sapere il numero delle palline. Ma solo se gli eventi possibili hanno la stessa probabilità, la probabilità di un evento specifico sarà pari a 1/n, dove n è il numero degli eventi. Si pensi alla probabilità che un pezzo di formaggio in una scatola opaca fuori dal frigo sia ammuffito. Gli eventi possibili sono due, ma la loro probabilità non è 50% e 50%, in realtà la probabilità che sia ammuffito dipende dal tempo.Sarà pari al 50% solo in un istante, punto del tempo ; prima sempre minore, dopo sempre maggiore. Nel caso delle porte non il tempo ma l'azione del conduttore, come detto, cambia la probabilità di vincere della porta scelta da lui.
Per confutare l'ipotesi del 50% e 50% possiamo anche porci una domanda. Ipotizziamo che un giocatore adotti la strategia di non accettare mai l'offerta del conduttore, qualunque essa sia. Se le probabilità di vincita all'inizio sono del 33%, ha senso pensare che queste passino automaticamente al 50% solo perché il conduttore ha chiesto qualcosa che il giocatore non ascolta neanche? La risposta è no.
Uno scenario che giustificherebbe la stima del 50% da parte del giocatore sarebbe il seguente: supponiamo che le capre e l'auto vengano collocate da un operatore nascosto non all'inizio del gioco, bensì dopo la scelta (casuale) della porta da parte del conduttore prima però che questa venga effettivamente aperta. L'operatore viene incaricato di simulare il gioco, quindi metterà necessariamente una capra dietro la porta da aprire mentre l'auto e la capra rimasta saranno messe casualmente dietro le restanti due porte. Dopo avere aperto la porta la probabilità di vincere da parte del giocatore diviene effettivamente del 50%.
Sebbene ignorare il passato funzioni in certi giochi, come ad esempio nel lancio di una moneta, non funziona necessariamente in tutti i giochi. Un rilevante controesempio è fornito dal conteggio delle carte uscite in certi giochi di carte, che consente ai giocatori di sfruttare a proprio vantaggio l'informazione riguardante eventi passati. Questo tipo di informazione è utile nella soluzione del problema di Monty Hall, come illustrato negli esempi che seguono.
Infatti, è più facile (probabile) che il giocatore si trovi ad aver scelto (prima scelta nel passato) una capra (aveva due possibilità su tre per una capra contro una possibilità su tre per l'automobile).
Quello che realmente fa la differenza è la conoscenza del futuro o almeno la restrizione dei possibili eventi futuri. Mentre nel lancio della moneta le probabilità di uscita testa o croce non dipendono dai lanci passati, negli esempi di carte (contare le carte) o del problema di Monty Hall i possibili eventi futuri si "riducono" dopo un preciso episodio. Nel caso del contare le carte, l'uscita di una carta modifica le possibili carte che possono ancora uscire, quindi ne modifica la probabilità. Nel caso del problema di Monty Hall, l'esclusione da parte del conduttore di una scelta certamente "sconveniente" rende la porta rimanente più interessante della prima porta scelta quando non si aveva nessuna conoscenza.