Il gravitomagnetismo (talvolta definito gravitoelettromagnetismo, abbreviato GEM) è un insieme di analogie formali tra le equazioni di campo di Maxwell e un'approssimazione, valida sotto certe condizioni, delle equazioni di campo di Einstein per la relatività generale. La versione più comune del GEM è valida solo lontano da sorgenti isolate e per particelle test che si muovono lentamente.

Le equazioni vennero pubblicate per la prima volta nel 1893, cioè prima della relatività generale, da Oliver Heaviside come una teoria separata che espandeva la legge di Newton.

Introduzione

Questa riformulazione approssimata della gravitazione descritta dalla relatività generale introduce una "forza apparente" in un sistema di riferimento diverso da quello di un corpo gravitante che si muove. Per analogia con l'elettromagnetismo, questa forza apparente è chiamata forza gravitomagnetica, dal momento che si origina nello stesso modo in cui una carica elettrica in movimento crea un campo magnetico e quindi una "forza apparente", come nella relatività speciale. La principale conseguenza della forza gravitomagnetica, o accelerazione gravitomagnetica, è che un oggetto in caduta libera vicino a un oggetto massivo rotante ruoterà esso stesso. Questa previsione, spesso citata impropriamente come effetto gravitomagnetico, è tra le ultime previsioni basilari della relatività generale ancora non direttamente verificate.

Convalide indirette degli effetti gravitomagnetici sono state ricavate dalle analisi dei getti relativistici. Roger Penrose ha proposto un meccanismo (noto come processo Penrose) collegato all'effetto di trascinamento per estrarre energia e momento angolare dai buchi neri rotanti. Reva Kay Williams, dell'Università della Florida, ha sviluppato una rigorosa dimostrazione che convalida il meccanismo di Penrose. Il suo modello mostrava come l'effetto Lense-Thirring avrebbe potuto fornire la spiegazione delle alte energie e luminosità osservate nei quasar e nei nuclei galattici attivi, i getti collimati vicini al loro asse polare e i getti asimmetrici (relativi al piano orbitale). Tutte queste proprietà osservate potrebbero essere spiegate in termini di effetti gravitomagnetici. L'interpretazione del meccanismo di Penrose proposto dalla Williams può essere applicata ai buchi neri di ogni dimensione. I getti relativistici possono rappresentare la più estesa e brillante forma di convalida per il gravitomagnetismo.

Un gruppo di ricercatori della Stanford University sta attualmente analizzando i dati del primo test diretto del GEM, l'esperimento con il satellite Gravity Probe B, per vedere se essi sono compatibili con il gravitomagnetismo. Anche l'APOLLO (Apache Point Observatory Lunar Laser-ranging Operation, acronimo da non confondere con il Programma Apollo) ha in programma l'osservazione degli effetti gravitomagnetici.

Equazioni

Secondo la relatività generale, il campo gravitazionale prodotto da un oggetto rotante (o qualsiasi massa-energia in rotazione) può, in un caso limite particolare, essere descritto da equazioni che hanno la stessa forma del campo magnetico nell'elettromagnetismo classico. Iniziando dall'equazione di base della relatività generale di Einstein e ipotizzando un campo gravitazionale debole o uno spaziotempo ragionevolmente piatto, possono essere derivate le equazioni gravitazionali per l'elettromagnetismo, chiamate "equazioni GEM", analoghe alle equazioni di Maxwell. Le equazioni GEM corrispondenti a quelle di Maxwell nel SI sono:

LeggeEquazioni GEMEquazioni di MaxwellLegge di GaussLegge di Gauss per il magnetismoLegge di FaradayLegge di Ampère-Maxwell dove: Eg è il campo gravitazionale statico (gravità convenzionale, anche detta gravitoelettrica per analogia), con unità SI in m⋅s−2; E è il campo elettrico, con unità SI in s-1 kg⋅m⋅s−3⋅A−1 (V/m); Bg è il campo gravitomagnetico, con unità SI in s-1 (Hz); B è il campo magnetico, con unità SI in kg⋅s−2⋅A−1 (T); ρ è densità di massa, con unità SI in kg⋅m−3; ρem è la densità di carica, con unità SI in A⋅s⋅m−3 (C/m3): J è la densità di corrente della massa (J = ρ vρ, dove vρ è la velocità del flusso di massa che genera il campo gravitomagnetico), con unità SI in kg⋅m-2⋅s-1; Jem è la densità di corrente elettrica con unità SI in A⋅m−2 (C/m⋅s-1); G è la costante gravitazionale, con unità SI in m3⋅kg−1⋅s−2; ε0 è la permittività del vuoto, con unità SI in kg−1⋅m−3⋅s4⋅A2; c è la velocità di propagazione della gravità (uguale alla velocità della luce nella relatività generale), con unità SI in m⋅s-1. da cui si ricava gli altri campi come Dg e Hg

Dg sarà ρ al metro, diventa densità per area o colonna area, con unità SI in kg⋅m−2.

Hg sarà ρ / v, con unità SI in kg⋅m−1⋅s−1 .

la corrente di gravità Ig analoga alla corrente elettrica sarà:

Ig diventa il tasso di cambio della massa nel tempo, con unità SI in kg⋅s−1.

dove la corrente di massa deriva della legge di Fick sulla quantità di sostanza chimica o biologica e rs è il raggio di Schwarzschild di un buco nero o semplicemente il raggio di un buco nero.

La tensione gravitazionale, analoga alla tensione elettrica sarà dato da:

La resistenza gravitazionale sarà l'impulso specifico per massa al quadrato, seguendo le classiche leggi di Ohm, sulla derivazione della resistenza elettrica, con unità SI in kg−1⋅m2⋅s−1.

da cui ricaviamo la resistività delle equazioni GEM, con unità SI in kg−1⋅m1⋅s−1:

dove è la costante di Planck ridotta e la densità di massa.

Il flusso elettrico e il flusso magnetico nelle equazioni di Oliver Heaviside in GEM sono:

con unità per il flusso elettrico in GEM nel sistema internazionale SI in m3⋅s−2.

con unità per il flusso magnetico in GEM nel sistema internazionale SI in m2⋅s−1.

dove è la diffusibilità della legge di Fick e la viscosità cinetica di Newton è in unità SI in m2⋅s−1.

In ultimo si ricava la capacitanza delle equazioni GEM e l'induttanza:

sara in unità SI in kg⋅m−2⋅s2 e l'induttanza gravitazionale in GEM è:

con unità SI in kg−1⋅m2. Da notare che è il reciproco del campo

Potenziale vettoriale La legge di induzione di Faraday (terza riga della tabella) e la legge di Gauss per il campo gravitomagnetico (seconda riga della tabella) possono essere risolte tramite la definizione di potenziale gravitazionale e del potenziale vettore (con unità SI in m1⋅s−1, ovvero velocità della luce c), in accordo di:

e

Inserendo questi quattro potenziali nella legge gaussiana del campo gravitazionale (prima riga della tabella) e nella legge circuitale di Ampère (quarta riga della tabella) e applicando la gauge di Lorenz si ottengono le seguenti equazioni d'onda non omogenee:

Per una situazione stazionaria () si ottiene l'equazione di Poisson della teoria della gravitazione classica. Nel vuoto () si ottiene un'equazione d'onda in condizioni non stazionarie. GEM prevede quindi l'esistenza di onde gravitazionali. In questo modo GEM può essere considerato una generalizzazione della teoria della gravitazione di Newton.

L'equazione d'onda per il potenziale gravitomagnetico può essere risolta anche per un corpo sferico rotante (che è un caso stazionario), dando origine a momenti gravitomagnetici.

Forza di Lorentz Per una particella test la cui massa m è "piccola", in un sistema stazionario, la forza risultante (di Lorentz) che agisce su di essa dovuta al campo GEM è definita dalla seguente equazione, che è l'analogo GEM della forza di Lorentz:

.

dove: è la massa della particella test; è la velocità istantanea della particella test.

L'accelerazione di ogni particella test è semplicemente: .

In qualcuno dei lavori pubblicati, nelle equazioni GEM è sempre moltiplicato per 1/2, un fattore assente nelle equazioni di Maxwell. Questo fattore si annulla se nella versione GEM dell'equazione della forza di Lorentz è moltiplicato per 2, come mostrato sopra. I fattori 2 e 1/2 derivano dal fatto che il campo gravitazionale è provocato dal tensore energia impulso che è un tensore di secondo rango, a differenza del campo elettromagnetico che è causato da una quadri-corrente che è un tensore di primo rango. Questa differenza diventa intuitivamente chiara quando la non-invarianza della massa relativistica viene confrontata con l'invarianza della carica elettrica. Si usa riferirsi a questo dicendo che la gravità è un campo di spin 2 mentre l'elettromagnetismo è un campo di spin 1.

Vettore di Poynting Il vettore di Poynting GEM confrontato con il vettore di Poynting elettromagnetico è dato da: +Equazioni del vettore di Poynting in GEM ed elettromagnetismoEquazioni GEMEquazioni EM

Scala dei campi La letteratura non adotta una scala coerente per i campi gravitoelettrici e gravitomagnetici, rendendo il confronto complicato. Ad esempio, per ottenere una concordanza con gli scritti di Mashhoon, tutte le istanze di nelle equazioni del GEM devono essere moltiplicate per ⁠ e per −1. Questi fattori modificano in vario modo le analogie delle equazioni per la forza di Lorentz. Non esiste una scelta di scala che consenta a tutte le equazioni del GEM e dell'EM di essere perfettamente analoghe. La discrepanza nei fattori deriva dal fatto che la sorgente del campo gravitazionale è il tensore stress-energia del secondo ordine, a differenza della sorgente del campo elettromagnetico che è il tensore quadricorrente del primo ordine. Questa differenza diventa più chiara confrontando la non invarianza della massa relativistica con l'invarianza della carica elettrica. Ciò può essere ricondotto al carattere di spin-2 del campo gravitazionale, in contrasto con l'elettromagnetismo che è un campo di spin-1.

In unità di Planck Dal confronto delle equazioni GEM con quelle di Maxwell è ovvio che −1/(4πG) è l'analogo gravitazionale della permittività del vuoto ε0. Adottando le unità di Planck si normalizzano G, c e 1/(4πε0) a 1, eliminando perciò queste costanti da entrambi gli insiemi di equazioni, che diventano identiche tranne per il segno meno che precede 4π nelle equazioni GEM. Questi segni meno derivano da una differenza essenziale tra gravità ed elettromagnetismo: le cariche elettrostatiche di segno uguale si respingono, mentre le masse si attraggono. Perciò le equazioni GEM sono semplicemente equazioni di Maxwell con la sostituzione della massa (o densità di massa) per la carica (o densità di carica), e −G con la costante della forza di Coulomb 1/(4πε0).

La seguente tabella riassume i risultati fin qui ottenuti:

Struttura comune delle equazioni di Maxwell e GEM date in unità di planck.

ι = +1 (Maxwell) o −1 (GEM).

appare sia nelle equazioni GEM che di Maxwell, dato che le unità di Planck normalizzano G e 1/(4πε0) a 1, e non 4πG e ε0.

Effetti di ordine superiore Alcuni effetti gravitomagnetici di ordine superiore possono riprodurre effetti che ricordano le più convenzionali interazioni tra cariche polarizzate. Per esempio, se due ruote sono fatte girare su un comune asse, l'attrazione gravitazionale reciproca è maggiore se esse girano in direzioni opposte invece che nella stessa direzione. Questa può essere espressa come una componente gravitomagnetica attrattiva o repulsiva.

Considerazioni gravitomagnetiche prevedono anche che una massa toroidale fluida o flessibile sottoposta a una rotazione (rotazione ad "anello di fumo") dell'asse minore tenderà a estrarre la materia preferenzialmente attraverso la gola (un caso di effetto di trascinamento rotazionale, che agisce attraverso la gola). In teoria, questa configurazione potrebbe essere usata per accelerare gli oggetti (attraverso la gola), senza che questi subiscano alcuna forza g.