In algebra astratta, una estensione di campi è detta algebrica se ogni elemento di è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in .
Definizioni Sia un campo. Una estensione è il dato di un altro campo e di un omomorfismo iniettivo di in . Tramite l'omomorfismo, può essere visto come un sottocampo di . L'estensione è generalmente indicata con la notazione .
Un elemento di è algebrico su se esiste un polinomio (non nullo) a coefficienti in tale che
Un elemento non algebrico su è detto trascendente.
Se tutti gli elementi di sono algebrici su , l'estensione è detta algebrica. Altrimenti è trascendente.
Polinomio minimo Tra tutti i polinomi che si annullano in , ne esiste uno in particolare di grado minimo, detto polinomio minimo di su . Si dimostra che esso è unico a meno di una costante moltiplicativa (ciò equivale a dire che esiste un unico polinomio minimo monico, cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale a ) e che l'ideale generato da esso rappresenta il nucleo dell'omomorfismo di valutazione
Inoltre il grado di tale polinomio è proprio il grado dell'estensione , dove è il sottocampo di generato da e da .
Esempi Siano , e rispettivamente i campi dei numeri razionali, reali e complessi.
L'estensione è trascendente, perché π non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali. L'estensione è algebrica, perché ogni numero complesso è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio
Consideriamo il sottocampo di generato da e . L'estensione è algebrica, perché è radice del polinomio a coefficienti razionali
Ogni polinomio a coefficienti in definisce il suo campo di spezzamento, che è un'estensione algebrica di "generata" dalle radici di .
Campi algebricamente chiusi Un campo che non ha estensioni algebriche (oltre a sé stesso) è detto algebricamente chiuso. Un esempio è il campo dei numeri complessi.
Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (e la più piccola fra queste è la sua chiusura algebrica), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'assioma della scelta.
Generalizzazioni La teoria dei modelli generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di in è detta estensione algebrica se per ogni in esiste una formula a parametri in , tale che è vera e l'insieme
è finito. Applicando questa definizione alla teoria dei campi si ottiene l'usuale definizione di estensione algebrica. Il gruppo di Galois di su può essere ancora definito come il gruppo di automorfismi, e la maggior parte della teoria dei gruppi di Galois può essere sviluppata in questo contesto più generale.
Voci correlate Campo (matematica) Estensione di campi Spazio vettoriale Teoria di Galois Numero algebrico Campo algebricamente chiuso Campo di spezzamento
Collegamenti esterni
Estensioni algebriche su progettomatematica.dm.unibo.it Polinomio minimo su progettomatematica.dm.unibo.it
Categoria:Teoria dei campi